牛客小白月赛5-F题: 圆(circle)

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/135/F

题解作者：Stump
题解链接：https://www.nowcoder.com/discuss/87874?type=101&order=0&pos=1&page=0
来源：牛客网

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 32768K，其他语言65536K
64bit IO Format: %lld

题目描述

    签到题来了，送你们一个Python秒的题。

    Apojacsleam来到了OI大陆，经过了连年征战，成为了一方国王。

    Apojacsleam把他的王国命名为“Apo国”，Apo国的领土是一个标准的圆形。

    Apojacsleam现在想封赏他的大臣，他在国境上建立了n个城市，要求他的大臣对这n个城市两两之间修建道路（道路是笔直的），把整个王国分成尽量多的区域，使得每一个大臣都有封土并且不会太大（以免谋反）。

    于是Apojacsleam找你求助，他告诉你他打算建多少个城市，而你的任务是告诉他最多可以分成多少个部分。

    说的太慢可是要被处死的，所以你必须要在1s之内回答。

输入描述:

输入数据有多组，每组一行，一个正整数n，意义如“题目描述”

输出描述:

对于每一组数据输出一行描述答案：

输出一个正整数k，表示最多分成k份。

示例1

输入

2
3

输出

2
4

说明

样例解释（样例1和样例2一起解释了）：

示例2

输入

4
5
6

输出

16
31

说明

题解：

首先在圆上去n个点，

要是n个点产生的区域数最大，

就必须是任意3条直线不交于一点。

也就是园内任意一点最多只有两条直线经过。

在圆上的n个点会连出C(n,2)条直线。

任意一个圆内交点都可以有圆上四点构成的四元组唯一对应，

那么无序四元组的个数为C(n,4),也是交点个数。

如果把圆看成一张图(圆弧也是边)

点数有n+C(n,4)

边数有C(n,2)+2C(n,4)+n

根据欧拉公式有

F=E-V+2

=C(n,4)+C(n,2)+2

扣掉圆外区域

答案为C(n,4)+C(n,2)+1

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

int main(void)
{
    long long int n;
    while (~scanf("%lld", &n))
        printf("%lld\n", (n - 1) * n / 2 + (n - 3) * (n - 2) * (n - 1) * n / 24 + 1);
    
    return 0;
     
}

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