问答题 29 /69

n个平面最多能将一个空间切成多少部分？

参考答案

显然，当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1、这n个平面两两相交； 2、没有三个以上的平面交于一点； 3、这n个平面的交线任两条都不平行。对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个平面分空间的部分数为 an，易知当n=1时，an=2 ；当n=2时，an=4 当n=3时，an=8 当n=4 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知an=15 ；从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分，那么当n=1,2,3时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。当n=k 时，设 k条直线将平面分成了 bk个部分，接着当添加上第k+1 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有 k个交点，这 k个交点将第 k+1条直线分割成k段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了K+1 个区域，故得递推关系式 b(k+1)=b(k)+(k+1) ，即 b(k+1)-b(k)=k+1 显然当k=1 时, b(1) =2,当k=1,2,3.....n-1 时，我们得到个式子： b(2)-b(1)=2; b(3)-b(2)=3; b(4)-b(3)=4; b(5)-b(4)=5; …… b(n)-b(n-1)=n; 将这 n-1个式子相加，得 b(n)=1/2*(n^2+n+2)，即n条直线最多可将平面分割成1/2*(n^2+n+2) 个部分。我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定b(k) 与b(k+1)的递推关系，最后得出结论。现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k个平面将空间分割成a(k)个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成b(k)个部分。而这b(k)个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b(k)个部分。由此的递推关系式 a(k+1)=a(k)+b(k)，即 a(k-1)-a(k)=b(k) 当k=1,2,3........n-1时，我们得到如下n-1个关系式 a(2)-a(1)=b(1); a(3)-a(2)=b(2); …… a(n)-a(n-1)=b(n-1); 将这n-1个式子相加，得 a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+b(3)+.......+b(n-1)) 因为 b(n)= 1/2*(n^2+n+2),a(1)=2 所以 a(n)=2+{1/2*(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+(3^2+3+2)+........+((n-1^2)+(n-1)+2)} =(n^3+5*n+6)/6 问题的解：由上述分析和推导可知，n个平面最多可将平面分割成 =(n^3+5*n+6)/6

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