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n个平面最多能将一个空间切成多少部分？

[问答题]
n个平面最多能将一个空间切成多少部分？
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SunburstRun头像 SunburstRun
显然，当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1、 这n个平面两两相交； 2、 没有三个以上的平面交于一点； 3、 这n个平面的交线任两条都不平行。 对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个 平面分空间的部分数为 an，易知 当n=1时，an=2 ； 当n=2时，an=4 当n=3时，an=8 当n=4 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知an=15 ； 从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分，那么 当n=1,2,3时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。 当n=k 时，设 k条直线将平面分成了 bk个部分，接着当添加上第k+1 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有 k个交点，这 k个交点将第 k+1条直线分割成k段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了K+1 个区域，故得递推关系式 b(k+1)=b(k)+(k+1) ，即 b(k+1)-b(k)=k+1 显然当k=1 时, b(1) =2,当k=1,2,3.....n-1 时，我们得到 个式子： b(2)-b(1)=2; b(3)-b(2)=3; b(4)-b(3)=4; b(5)-b(4)=5; …… b(n)-b(n-1)=n; 将这 n-1个式子相加，得 b(n)=1/2*(n^2+n+2)，即n条直线最多可将平面分割成1/2*(n^2+n+2) 个部分。 我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定b(k) 与b(k+1)的递推关系，最后得出结论。 现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k个平面将空间分割成a(k)个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成b(k)个部分。 而这b(k)个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b(k)个部分。由此的递推关系式 a(k+1)=a(k)+b(k)， 即 a(k-1)-a(k)=b(k) 当k=1,2,3........n-1时，我们得到如下n-1个关系式 a(2)-a(1)=b(1); a(3)-a(2)=b(2); …… a(n)-a(n-1)=b(n-1); 将这n-1个式子相加，得 a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+b(3)+.......+b(n-1)) 因为 b(n)= 1/2*(n^2+n+2),a(1)=2 所以 a(n)=2+{1/2*(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+(3^2+3+2)+........+((n-1^2)+(n-1)+2)} =(n^3+5*n+6)/6 问题的解：由上述分析和推导可知，n个平面最多可将平面分割成 =(n^3+5*n+6)/6
编辑于 2015-09-28 13:19:53 回复(2)
noble4cc头像 noble4cc
我们先假设有n个平面相交得到了a(n)个空间，我们再添加第n+1个平面，第n+1个平面和其余的平面两辆相交，得到最大分割，也就是说第n+1个平面被分割成n条线分割，最大能分割成你b(n)=(n+1)*n/2+1个平面（为什么分割成这么多多平面见：这里）被分割成的子平面又把原来的空间一分为二，所以增加了b(n)个空间，可以得出a(n+1)=a(n)+b(n)<==>a(n+1)-a(n)=b(n);
a(2)-a(1)=b(1);
a(3)-a(2)=b(2);
    ....
a(n)-a(n-1)=b(n-1);
得出：
a(n)-a(1)=b(1)+b(2)+...+b(n-1);又a(1)=2;
a(n)=2+b(1)+b(2)+...+b(n-1);
经过变形：b(n)=1/2(n 2+n+2)
b(1)+...+b(n-1)=1/2[(12+22 .... +(n-1)2)+(1+2+..+n-1)+2(n-1)]
平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6
最终得到：a(n)=(n3+5n+6)/6

发表于 2015-06-08 10:51:44 回复(0)
simmon_hu头像 simmon_hu
n 直线分平面 平面分空间 
1 2 2 
2 4 4 
3 7 8 
4 11 15 
我们看到第二列的数等于它上面的数与它左边的数的和,而第三列的数等于它上面的数与它左上的数的和,据此,我最后得出结果是2+(n-1)(n^2+n+6)/6=(n^3+5n+6)/6
发表于 2015-06-12 19:42:32 回复(0)
sam_zhu头像 sam_zhu
1个平面                         2 个空间
2个平面  (1条交线)         4个空间
3个平面 （2条交线）     8 个空间
4个平面  (3条交线)        15个空间
n个平面  (n条交线)         a(n)-a(n-1)=n(n-1)/2+1
a(n)=(n^3+5n+6)/6
这其中要注意    b(n-1) = n(n-1)/2   + 1  
b(n)  = (n+1)n/2 +1  这样一个计算，就是求交线划分平面的问题。 
发表于 2015-07-23 11:56:15 回复(0)
小小娃爱吃甜食头像 小小娃爱吃甜食
(n 3 +5n+6)/6
发表于 2015-07-10 11:04:01 回复(0)
万QQ头像 万QQ
此答案摘自博客客主‘ one piece’的回答：
num[n] = num[n - 1] + n*(n-1)/2 + 1 思路：第n个平面会和前面n-1个平面形成n-1条交线，n-1条 交线最多将新平面分成n*(n-1)/2 + 1份，每一份都多切出一个新的空间
发表于 2015-06-19 09:34:46 回复(0)
大逗比头像 大逗比
2的n次方，每加入一个平面，空间的分块都被均分了！result = 2^n. 
发表于 2015-05-27 23:41:47 回复(0)
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智力题
上传者：陈木木
难度：
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