《机器学习高频面试题详解》2.5：降维算法-主成分分析

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前言

大家好，我是鬼仔，今天带来《机器学习高频面试题详解》专栏的第2.5节：降维算法-主成分分析（PCA）。这是鬼仔第一次开设专栏，每篇文章鬼仔都会用心认真编写，希望能将每个知识点讲透、讲深，帮助同学们系统性地学习和掌握机器学习中的基础知识，希望大家能多多支持鬼仔的专栏～

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本文大纲
一、原理	1. PCA算法过程
一、原理	2. PCA理论基础
二、面试真题	1. PCA算法过程中需要数据标准化？
	2. PCA算法怎么找到新的降维维度？
	3. PCA算法为什么需要计算协方差矩阵？
	4. PCA为什么要用协方差矩阵的特征向量矩阵来做投影矩阵？
	5. PCA算法的优缺点？
	6. PCA算法有哪些改进方向？

一、原理

1. PCA算法过程

PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种广泛应用于数据降维、特征抽取和数据可视化的线性变换方法。这里通过几个步骤来解释 PCA 的计算过程。

假设有一个 $m \times n$ 的数据矩阵 $X$ ，其中 $m$ 表示数据的样本数， $n$ 表示每个样本的特征数。PCA 的目标是将这 $n$ 个特征合理地压缩成 $k$ （ $k<n$ ）个维度，同时保证新的 $k$ 个特征能够最大程度地解释原数据中的信息。

具体的计算过程如下：

1）数据标准化：对原始数据矩阵 $X$ 进行标准化处理，使得每个特征的均值为 0，方差为 1：

$z_{ij} = \frac{x_{ij} - \bar{x}_j}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_{kj} - \bar{x}_j)^2}} \quad (i=1,2,\dots,m; j=1,2,\dots,n)$

其中 $x_{ij}$ 表示原始数据矩阵 $X$ 中第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征值， $\bar{x}_j$ 表示第 $j$ 个特征的均值， $n$ 表示数据总样本数。

2）计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵 $C$ ，表示各个特征之间的相关性大小：

$C = \frac{1}{m-1}ZZ^T$

其中 $Z$ 为标准化后的数据矩阵。

3）计算特征值和特征向量：对协方差矩阵 $C$ 进行特征值分解，得到 $C$ 的 $n$ 个特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 和对应的特征向量 $v_1,v_2,\dots,v_n$ 。

4）选取主成分：将特征值从大到小排序，选取前 $k$ 个特征值对应的特征向量作为主成分（ $k<n$ ）。这 $k$ 个特征向量构成一个 $n \times k$ 的矩阵 $V_k$ 。

5）投影数据：使用标准化的数据矩阵 $Z$ 和选取的主成分矩阵 $V_k$ ，按照以下公式计算降维后的数据矩阵 $Y$ ：

$Y=ZV_k$

其中， $Y$ 是一个 $m \times k$ 的矩阵，每一行表示一个样本在 $k$ 个主成分上的投影。

最终得到的低维 $Y$ 矩阵即为原始高维数据集 $X$ 在 $k$ 维空间中的投影。

2. PCA理论基础

PCA的基本思想是通过线性投影，将高维数据转换到低维空间，同时最大限度地保留原始数据的信息。这些信息用数据的方差表示，方差越大，说明这个方向上的信息越多。PCA 确定的低维空间可以最大限度地区分数据点并去除冗余特征，PCA有着严谨的理论基础，具体的数理证明过程就不再阐述，这里主要提几个关键步骤的理论支撑，用于大部分的面试已足矣。

1）均值与协方差：PCA 首先对原始数据进行中心化处理，确保分析主成分时涉及的向量（特征）均为零均值，更有效地凸显原始数据的变化（方差）。同时，中心化也提供了数据规范化的基础，便于接下来的降维分析。然后计算数据的协方差矩阵，衡量各特征之间的相关性。

2）最大方差原理：PCA 基于最大方差原理，即认为解释数据变化的重要信息（主成分）与其方差成正比。因此，通过找到在低维空间上最大化数据方差的方向，使得投影后的数据最大程度地保留了原始信息。

3）特征值与特征向量：要计算新的主成分，需要确定协方差矩阵的特征值和特征向量。特征向量表示主成分的方向，而对应的特征值表示主成分在该方向上解释的数据方差。特征值越大，说明对应的特征向量在新空间的方向上含有更多原始数据的信息。

4）降维：将特征值从大到小排序，对应的特征向量则为降维后的主成分。选择前 k 个最大特征值对应的特征向量确定降维矩阵。通过将原始数据投影到降维矩阵上，可以生成降维后的新数据集。

二、面试真题

1. PCA算法过程中需要数据标准化？

需要。理由如下：

1）数据尺度差异：不同特征可能具有不同的量纲和数据范围。例如，一个特征可能表示长度（以米为单位），另一个特征可能表示重量（以千克为单位）。在这种情况下，量纲和尺度的差异可能导致某些具有较大尺度的特征在 PCA 中占据主导地位。为解决这个问题，在执行 PCA 之前先对特征进行标准化，以避免尺度差异对结果产生显著影响。

2）更准确的协方差估计：标准化数据可确保各个特征的均值为0，方差为1。这有助于更准确地估计特征间的协方差，从而进行更有效的降维分析。

3）提升性能：通过将数据转换为统一尺度，可以确保特征在模型训练中得到平等对待。