题解 | #Chiitoitsu#

Chiitoitsu

题意

• 初始手牌有 13 张麻将牌，相同牌至多出现 2 张
• 所有的牌有34种，每种牌都有4张
• 每轮可以从牌堆摸牌，若达成七对子则自摸胡牌
• 若不然则选择手牌中某张牌并丢弃
• 给定初始手牌，求最优策略下达成七对子的期望轮数
• 多组数据，数据组数不超过 100000组

解析

由题意我们可以指，最优策略为：如果摸到的牌能和手上的牌凑成对子，则留下，否则丢掉，按照这样一个策略，我们可以使得手上没有成对的牌都是没有摸到过的牌，即牌堆中还有三张这样的牌

用dp[i] [j]表示手上还有i张单牌，牌堆中还有j张牌，还要模牌次数的期望值

那么每次摸牌可以分为两种情况： ①摸到的牌可以和手上的牌凑对，留下 其概率为：(i * 3) / j （因为手中有i张单牌，那么牌堆中每种单牌都有三张） ②摸到的牌不能和手上的牌凑对，丢掉 其概率为：(j - 3 * i) / j

接着，我们就可以知道状态转移方程了： dp[i] [j] = 1 + (3 * i) / j * dp[i - 2][j - 1] + (j - 3 * i) / j * dp[i] [j - 1]

但是我们要对dp[1] [i[进行初始化： dp[1][i] = 1 + (i - 3) / i * dp[1][i - 1] 因为当手上只有一张单牌的时候，不管有没有凑成对子，都得有这一回合，如果凑成对子了，后面就不用摸牌了；如果没有凑成对子，那就还需要dp[1][i - 1] 回合，其概率为(i - 3) / i

另外，由于本题需要取模，而期望值并不一定是整数，所以要用到逆元和快速幂，不会的可以去了解一下~

提醒一下，手中单牌的数量只会是1，3，5，……，13

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p = 1e9 + 7;
int t;
ll dp[20][200];

ll ksm(ll a,ll k)
{
    ll res = 1;
    while(k){
        if(k & 1) res = res * a % p;
        k >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    for(int i = 3;i <= 123;i ++){
        dp[1][i] = (1 + (((i - 3) * ksm(i,p - 2) % p) * dp[1][i-1] % p)) % p;
    }
    for(ll i = 3;i <= 13;i += 2){
        for(ll j = 3;j <= 123;j ++){
            dp[i][j] = (1 + (((i * 3) * ksm(j,p - 2) % p) * dp[i - 2][j - 1] % p) + (((j - i * 3) * ksm(j,p - 2) % p) * dp[i][j - 1] % p)) % p;
        }
    }
    cin >> t;
    for(int Case = 1;Case <= t;Case ++){
        unordered_map<string,int> mp;
        string s;
        cin >> s;
        int n = 0;
        for(int i = 0;i < s.length();i += 2){
            string tmp = "";
            tmp += s[i];
            tmp += s[i + 1];
            mp[tmp] ++;
        }
        for(int i = 0;i < s.length();i += 2){
            string tmp = "";
            tmp += s[i];
            tmp += s[i + 1];
            if(mp[tmp] == 1) n ++;
        }
        cout << "Case #" << Case << ": " << dp[n][123] << '\n';
    }
    return 0;
}