题解 | #买卖股票的最好时机(三)#

题目主要信息:

• 给出一个数组表示连续多日的股票价格
• 你可以选择在某一天买入股票，在另一天卖出股票，可以最多买入两次卖出两次，但是第二次买入必须在第一次卖出后，且每天只能进行一次操作
• 假设买卖没有手续费，问最高收益是多少，即卖出的价格减去买入的价格，如果没有利润需要返回0

举一反三：

学习完本题的思路你可以解决如下题目：

BM78.打家劫舍(一)

BM79.打家劫舍(二)

BM80.买卖股票的最好时机(一)

BM81.买卖股票的最好时机(二)

方法：动态规划(推荐使用)

知识点：动态规划

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果

思路：

这道题与BM80.买卖股票的最好时机(一)的区别在于最多可以买入卖出2次，那实际上相当于它的状态多了几个，对于每天有到此为止的最大收益和持股情况两个状态，持股情况有了5种变化，我们用：

• $dp[i][0]dp[i][0]$表示到第i天为止没有买过股票的最大收益
• $dp[i][1]dp[i][1]$表示到第i天为止买过一次股票还没有卖出的最大收益
• $dp[i][2]dp[i][2]$表示到第i天为止买过一次也卖出过一次股票的最大收益
• $dp[i][3]dp[i][3]$表示到第i天为止买过两次只卖出过一次股票的最大收益
• $dp[i][4]dp[i][4]$表示到第i天为止买过两次同时也买出过两次股票的最大收益

于是使用动态规划，有了如下的状态转移

具体做法：

• step 1：（初始状态） 与上述提到的题类似，第0天有买入了和没有买两种状态：$dp[0][0]=0dp[0][0]\; =\; 0$、$dp[0][1]=-prices[0]dp[0][1]\; =\; -prices[0]$。
• step 2：状态转移： 对于后续的每一天，如果当天还是状态0，则与前一天相同，没有区别；
• step 3：如果当天状态为1，可能是之前买过了或者当天才第一次买入，选取较大值：$dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])dp[i][1]\; =\; max(dp[i\; -\; 1][1],\; dp[i\; -\; 1][0]\; -\; prices[i])$；
• step 4：如果当天状态是2，那必须是在1的状态下（已经买入了一次）当天卖出第一次，或者早在之前就卖出只是还没买入第二次，选取较大值：$dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i])dp[i][2]\; =\; max(dp[i\; -\; 1][2],\; dp[i\; -\; 1][1]\; +\; prices[i])$；
• step 5：如果当天状态是3，那必须是在2的状态下（已经卖出了第一次）当天买入了第二次，或者早在之前就买入了第二次，只是还没卖出，选取较大值：$dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i])dp[i][3]\; =\; max(dp[i\; -\; 1][3],\; dp[i\; -\; 1][2]\; -\; prices[i])$;
• step 6：如果当天是状态4，那必须是在3的状态下（已经买入了第二次）当天再卖出第二次，或者早在之前就卖出了第二次，选取较大值：$dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i])dp[i][4]\; =\; max(dp[i\; -\; 1][4],\; dp[i\; -\; 1][3]\; +\; prices[i])$。
• step 7：最后我们还要从0、第一次卖出、第二次卖出中选取最大值，因为有可能没有收益，也有可能只交易一次收益最大。

图示：

ps：因为状态转移的时候，辅助数组只使用到了第i列和第i-1列，因此可以不使用数组，直接用变量代替，优化空间复杂度。

Java实现代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public int maxProfit (int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][5];
        //初始化dp为最小
        Arrays.fill(dp[0], -10000); 
        //第0天不持有状态
        dp[0][0] = 0; 
        //第0天持有股票
        dp[0][1] = -prices[0]; 
        //状态转移
        for(int i = 1; i < n; i++){ 
            dp[i][0] = dp[i - 1][0]; 
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        //选取最大值，可以只操作一次
        return Math.max(dp[n - 1][2],Math.max(0, dp[n - 1][4])); 
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        //初始化dp为最小
        vector<vector<int> > dp(n, vector<int>(5, -10000)); 
        //第0天不持有状态
        dp[0][0] = 0; 
        //第0天持有股票
        dp[0][1] = -prices[0]; 
        //状态转移
        for(int i = 1; i < n; i++){ 
            dp[i][0] = dp[i - 1][0]; 
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        //选取最大值，可以只操作一次
        return max(dp[n - 1][2], max(0, dp[n - 1][4])); 
    }
};

Python代码实现：

class Solution:
    def maxProfit(self , prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        #初始化dp为最小
        dp = [[-10000] * 5 for i in range(n)] 
        #第0天不持有状态
        dp[0][0] = 0 
        #第0天持有股票
        dp[0][1] = -prices[0] 
        #状态转移
        for i in range(1, n): 
            dp[i][0] = dp[i - 1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])
        #选取最大值，可以只操作一次
        return max(dp[n - 1][2], max(0, dp[n - 1][4])) 

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)O(n)$，其中$nn$为数组长度，只遍历一次数组
• 空间复杂度：$O(n)O(n)$，动态规划二维辅助相当于5个一维数组