2021-08-16 10:45 已编辑香港城市大学（东莞）算法工程师

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专题二 MATLAB矩阵处理

本篇是B站视频的笔记。

2.1 特殊矩阵

通用性的特殊矩阵

zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
rand函数：产生（0,1）区间均匀分布的随机矩阵。
randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
其调用格式相似，以zeros函数的调用格式为例：
- zeros(m)：产生m * m零矩阵。
- zeros(m,n)：产生m * n零矩阵。
- zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

用于专门学科的特殊矩阵

（1）魔方矩阵——Magic Square

>> M=magic(3)
M =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

n阶魔方阵由1,2,3,…,n²共n²个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
n阶魔方阵每行每列元素的和为(1+2+3+···+n²)/n=(n+n³)/2。
MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。

（2）范德蒙矩阵

在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范德蒙（Vandermonde）矩阵。

>> A=vander(1:5)
A = 
     1     1     1     1     1
   16     8     4     2     1
   81   27     9     3     1
 256   64   16     4     1
 625 125   25     5     1

范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，例如，常用的Reed-Solomon编码即以范德蒙矩阵为基础。

（3）希尔伯特矩阵

在MATLAB中，生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。

>> format rat
>> H=hilb(4)
H = 
     1        1/2      1/3      1/4
     1/2     1/3      1/4      1/5
     1/3     1/4      1/5      1/6
     1/4     1/5      1/6      1/7

*希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，即任何一个元素发生较小的变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大的变化。病态程度和矩阵阶数相关，随着阶数的增加，病态更加严重。

（4）伴随矩阵

MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan§，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。
例如，生成多项式x³-2x²-5x+6的伴随矩阵。

>> p=[1,-2,-5,6];
>> A=compan(p)
A = 
     2     5    -6
     1     0     0
     0     1     0

（5）帕斯卡矩阵

根据二项式定理，(x+y)ⁿ展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表，这个三角形称为杨辉三角。
把二项式系数一次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素级委n阶帕斯卡(Pascal)矩阵。

帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加，即P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)，且P(i,1)=1,P(1,j)=1。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。

2.2 矩阵变换

对角阵

对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

（1）提取矩阵的对角线元素

diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

（2）构造对角矩阵

diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

三角阵

（1）上三角矩阵

triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素

>> triu(ones(4),-1)
ans =
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     0     1     1     1
     0     0     1     1

(2)下三角矩阵

在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

矩阵的转置

转置运算符是小数点后面接单引号（.’）。
共轭转置，其运算符是单引号（’），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。

矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可以省略。

矩阵的翻转

fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

矩阵的求逆

对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

2.3 矩阵求值

方阵的行列式

把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。
· det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

矩阵的秩

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。

rank(A)：求矩阵A的秩。

矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

frace(A)：求矩阵A的迹。

向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

（1）向量的3中常用范数

向量1——范数：向量元素的绝对值之和。
向量2——范数：向量元素平方和的平方根。
向量无穷oo——范数：所有向量元素绝对值中的最大值。

在MATLAB中，求向量范数的函数为：

norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2——范数。
norm(V,1)：计算向量V的1——范数。
norm(V,inf)：计算向量V的oo——范数。

（2）矩阵的范数

从属与3中向量范数，矩阵范数计算公式如下。

矩阵A的1——范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值。
矩阵A的2——范数：A’A（矩阵的转置与A本身的乘积）矩阵的最大特征值的平方根。
矩阵A的无穷oo——范数：所有矩阵航元素绝对值之和的最大值。

MATLAB提供了求3中矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。

矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

在MATLAB中，计算矩阵A的3中条件数的函数是：

cond(A,1)：计算A的1——范数下的条件数。
cond(A)或cond(A,2)：计算A的2——范数下的条件数。
cond(A,inf)：计算A的oo——范数下的条件数。

2.4 矩阵的特征值与特征向量

矩阵特征值的数学定义

不多描述。

求矩阵的特征值与特征向量

函数调用格式用两种：

E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并参数矩阵X，X各列是相应的特征向量。

特征值的几何意义

2.5 稀疏矩阵

稀疏矩阵，0元素远远大于非0元素个数的矩阵。

矩阵的存储方式

完全存储方式
稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。注意，采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

稀疏存储方式的产生

（1）完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

A=sparse(S)：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。

（2）直接建立稀疏存储矩阵

sparse函数的其他调用格式：

sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵。
sparse(u,v,S)：其中u、v、S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。

使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：B=spconvert(A)
A为一个m3或m4的矩阵，其每行代表一个非零元素，m是非零元素的个数。

A(i,1)表示第i个非零元素所在的行。
A(i,2)表示第i个非零元素所在的列。
A(i,3)表示第i个非零元素值的实部。
A(i,4)表示第i个非零元素的虚部。
若矩阵的全部元素都是实数，则无需第4列。

（3）带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

[B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。
A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏矩阵A，其中m，n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有费零对角线的位置。