树链剖分的边权转点权问题

将边权->点权，只需要在dfs的时候求出两个点的深度，把边权下方到深度更深的节点上即可。
但是转化完之后，最后query_path的时候要注意，是求的son[u]和v之间的信息（因为点u保存的是u点到他的father节点之间的那条边，不应该算在u->v内）
Housewife Wind
tips：边权转化为点权，然后单点修改线段树，线段树维护区间和信息。
一点需要注意：如果query_path最后的u == v，就要直接break而不能算了。因为边权转化为点权后算son[u]和v的信息会出错。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring> 
#define ll long long 
using namespace std;

const int N = 200010;

int n,s,q,idx;
int fa[N],son[N],id[N],nw[N],sz[N],top[N],dep[N],cnt;    //树链剖分
int w[N],ne[N],e[N],h[N],ww[N];
struct node{
    int l, r, w;
}mp[N];
//线段树维护区间和
struct tr{
    int l, r, sum;
}tr[N << 2];
void pushup(int u){ tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;}
void build(int u, int l, int r){
    tr[u] = {l, r, nw[l]};
    if(l == r)    return ;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u);
}
void modify(int u, int x, int v){
    if(tr[u].l == tr[u].r && tr[u].l == x){
        tr[u].sum = v;
        return ;
    }else{
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if(x <= mid)    modify(u << 1, x, v);
        else    modify(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}
int query(int u, int l, int r){
    if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r)    return tr[u].sum;
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    int res = 0;
    if(l <= mid)    res += query(u << 1, l, r);
    if(r > mid)        res += query(u << 1 | 1, l, r);
    return res;
}
//树链剖分
void dfs1(int u, int father, int depth){
    sz[u] = 1, fa[u] = father, dep[u] = depth;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(j == father)    continue ;
        dfs1(j, u, depth + 1);
        sz[u] += sz[j];
        w[j] = ww[i];            //边权——>点权
        if(sz[son[u]] < sz[j])    son[u] = j; 
    }
} 
void dfs2(int u, int t){
    id[u] = ++ cnt, nw[cnt] = w[u], top[u] = t;
    if(!son[u])    return ;
    dfs2(son[u], t);
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(j == fa[u] || j == son[u])    continue ;
        dfs2(j, j); 
    }
}
int query_path(int u, int v){
    int res = 0;
    while(top[u] != top[v]){
        if(dep[top[u]] < dep[top[v]])    swap(u, v);
        res += query(1, id[top[u]], id[u]);
        u = fa[top[u]];
    }
    if(u == v)    return res;        //这里非常重要！！！！
    if(dep[u] < dep[v])    swap(u, v);
    res += query(1, id[son[v]], id[u]);
    return res;
}
void add(int a, int b, int c){ e[idx] = b, ww[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;}

int main(){
    cin >> n >> q >> s;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 1; i <= n - 1; ++ i){
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        mp[i] = {a, b, c};
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    dfs1(1, -1, 1);
    dfs2(1, 1);
    build(1, 1, n);
    while(q --){
        int op, x, v;
        scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op == 0)    printf("%d\n", query_path(s, x)), s = x;
        else{
            scanf("%d",&v);
            int a = mp[x].l, b = mp[x].r;
            if(dep[a] < dep[b])    swap(a, b);
            modify(1, id[a], v);
        }
    }
    return 0;
}

I Imperial roads
题意：多组询问，每组询问固定一条边，求此时的mst的权值。
思路：先求出原图的mst，并建图（是原图的最小生成树）。然后每次询问的边如果在mst中，就直接输出mst的值，否则，在新图上求这条边连接的点之间的最长一条路径，把他去掉再加上新边的值即可。（加上一条新边之后会生成一个环，然后去掉原先这个环中最大的一条边即可）。
树链剖分后用线段树维护区间最大值（两点之间路径的权值最大的边）。
还是注意最后son[u]和v的问题。

#include<bits/stdc++.h>
#define PII pair<int, int>
#define ll long long 
using namespace std;

const int N = 200010;

int n,m,q;
int f[N],ne[N],e[N],w[N],ww[N],idx,h[N];        // 建新图， ww是边权，w是点权
struct node{    // mst
    int s, e, w;
}mp[N];
bool cmp(node n1, node n2){return n1.w < n2.w;} 
int id[N],top[N],fa[N],sz[N],dep[N],son[N],nw[N],cnt;        //树链剖分
ll ans;        //mst的权值 
map<PII, int> rec;        //记录所有边
map<PII, bool> mst;        //记录在mst中的边 
struct tr{
    int l, r, maxx;
}tr[N << 2];

void add(int a, int b, int c){ e[idx] = b, ww[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;}

int find(int x){ return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);}
int unite(int x, int y){
    int r1 = find(x), r2 = find(y);
    if(r1 == r2)    return false;
    f[r2] = r1;    return true;
} 

void kruskal(){
    int num = 0;
    for(int i = 1; i <= m; ++ i){
        if(unite(mp[i].s, mp[i].e)){
            ans += mp[i].w;
            add(mp[i].s, mp[i].e, mp[i].w); add(mp[i].e, mp[i].s, mp[i].w);        //建新图 
            mst[{mp[i].s, mp[i].e}] = true;
            num ++;
        }
        if(num == n - 1)    break;
    }
}

void init(){
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)    f[i] = i;
    memset(h, -1, sizeof h);
} 
// 线段树函数
void pushup(int u){ tr[u].maxx = max(tr[u << 1].maxx, tr[u << 1 | 1].maxx);}
void build(int u, int l, int r){
    tr[u] = {l, r, nw[l]};
    if(l == r)    return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u);
} 
ll query(int u, int l, int r){
    if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r)    return tr[u].maxx;
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    ll res = 0;
    if(l <= mid)    res = max(res, query(u << 1, l, r));
    if(r > mid)        res = max(res, query(u << 1 | 1, l, r));
    return res;    
}
// 树链剖分函数
void dfs1(int u, int father, int depth){    //求重儿子 
    sz[u] = 1, fa[u] = father, dep[u] = depth;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(j == father)    continue ;
        dfs1(j, u, depth + 1);
        if(dep[u] < dep[j])    w[j] = ww[i];    //点权->边权 
        else    w[u] = ww[i];
        sz[u] += sz[j];
        if(sz[son[u]] < sz[j])    son[u] = j; 
    }
} 
void dfs2(int u, int t){        //划分轻重链 
    id[u] = ++ cnt, top[u] = t, nw[cnt] = w[u];
    if(!son[u])    return ;
    dfs2(son[u], t);
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(j == fa[u] || j == son[u])    continue ;
        dfs2(j, j);
    }
}
ll query_path(int u, int v){
    ll res = 0;
    while(top[u] != top[v]){
        if(dep[top[u]] < dep[top[v]])    swap(u, v);
        res = max(res, query(1, id[top[u]], id[u]));
        u = fa[top[u]];
    }
    if(dep[u] < dep[v])    swap(u, v);
    res = max(res, query(1, id[son[v]], id[u])); //!!!!!
    return res;
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    init();
    for(int i = 1; i <= m; ++ i)    scanf("%d%d%d",&mp[i].s,&mp[i].e,&mp[i].w), rec[{mp[i].s, mp[i].e}] = mp[i].w;
    sort(mp + 1, mp + 1 + m, cmp);
    kruskal();
    dfs1(1, -1, 1);
    dfs2(1, 1);
    build(1, 1, n);
    cin >> q;
    while(q --){
        int a, b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(mst.count({a, b}) || mst.count({b, a}))    printf("%d\n", ans);
        else{
            ll tmp = query_path(a, b);
            int z = rec.count({a, b}) ? rec[{a, b}] : rec[{b, a}];
            printf("%lld\n", ans + z - tmp);
        }
    }
    return 0; 
}

P3038 [USACO11DEC]Grass Planting G
题意：给出一棵n个节点的树，有m个操作，操作为将一条路径上的边权加一或询问某条边的权值。
直接点权转边权即可。

树链剖分的边权转点权问题

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