构建乘积数组

题目

给定一个数组A[0,1,...,n-1],请构建一个数组B[0,1,...,n-1],其中B中的元素B[i]=A[0]*A[1]*...*A[i-1]*A[i+1]*...*A[n-1]。不能使用除法。

思路

   观察下公式，你会发现，B[i]公式中没有A[i]项，也就是说如果可以使用除法，就可以用公式B[i]=A[0]*A[1]*.....*A[n-1]/A[i]来计算B[i]，但是题目要求不能使用，因此我们只能另想办法。

现在要求不能使用除法，只能用其他方法。一个直观的解法是用连乘n-1个数字得到B[i]。显然这个方法需要O(n*n)的时间复杂度。

好在还有更高效的算法。可以把B[i]=A[0]*A[1]*.....*A[i-1]*A[i+1]*.....*A[n-1]。看成A[0]*A[1]*.....*A[i-1]和A[i+1]*.....A[n-2]*A[n-1]两部分的乘积。

即通过A[i]项将B[i]分为两部分的乘积。效果如下图所示：

不妨设定C[i]=A[0]*A[1]*...*A[i-1]，D[i]=A[i+1]*...*A[n-2]*A[n-1]。C[i]可以用自上而下的顺序计算出来，即C[i]=C[i-1]*A[i-1]。类似的，D[i]可以用自下而上的顺序计算出来，即D[i]=D[i+1]*A[i+1]。

如果还是不明白，没有关系，直接看下代码，细细体会下就懂了。

第一个for循环用来计算上图1范围的数，第二个for循环用来计算上图2范围的数。

public static int[] multiply(int[] A) {
    if(A == null || A.length ==0)
    {
        return A;
    }
    int length = A.length;
    int [] B = new int[length];
    B[0] = 1;
    // 先计算左下三角形，此时B[0]只有一个元素，舍为1，
    // B[0]不包括A[0]
    for (int i = 1; i < length; i++) {
        B[i] = B[i-1]*A[i-1];
    }
    int tmp =1;
    //计算右上三角形
    for (int i = length -1; i >=0; i--) {
        //最终的B[i]是之前乘好的再乘以右边的
        B[i] *=tmp;
        tmp *= A[i];
    }

    return B;

}