[SDOI2008]仪仗队 数论

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题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。 仪仗队是由学生组成的N *
N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。
输入描述:

共一个数N。

输出描述:

共一个数，即C君应看到的学生人数。

示例1
输入

4

输出

9

题解：
无限接近裸的欧拉函数
可以自己画图看看
我来解释下我这个图，我把n=4和5画在了一起，紫***域是44区域，红***域（也是整个区域）是55，左上角围成一个三角形区域，我们暂时不考虑对角线上的情况（因为对角线只能看见一个，后面的都被挡住了）。
左下角坐标是（0,0），我们发现能看的坐标（x，y），x与y为互质，如果不是互质，就一定会被挡住，（比如（2,4）会被（1,2）挡住，而1与2互质，（1,2）就不会被挡住）
我们用ans记录三角区域的情况数
就是ans=每行的情况加一起
那每行有多少种，可以用欧拉函数求
欧拉函数的ϕ(x)表示小于x的且与x互质的数有多少个
ϕ(3)=2（与3互质的有1和2，一共有两个）
特别注意ϕ(1)=1
公式法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e4+10;
int n, phi[maxn];
// 直接求3
long long Euler( long long n ){
       long long res = n;
     for( long long i =2 ;i*i<=n;i++){
         if( n %i == 0 ){
            n/=i;
            res = res - res/i;
        }
         while( n % i==0)
         n/=i;
     }
     if( n > 1 )
         res = res - res/n;
     return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i < n; i++) ans += Euler(i);
    printf("%d", ans * 2 + 1);
    return 0;
}

筛法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e4+10;
int n, phi[maxn];
void get_phi(int n) {
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) if(!phi[i]) {
        for(int j = i; j <= n; j += i) {
            if(!phi[j]) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    get_phi(n);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i < n; i++) ans += phi[i];
    printf("%d", ans * 2 + 1);
    return 0;
}

记录下欧拉函数的模板：
筛法：

/*
特性 :
1.若a为质数,phi[a]=a-1;
2.若a为质数,b mod a=0,phi[a*b]=phi[b]*a
3.若a,b互质,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数时,if b mod a!=0 ,phi[a*b]=phi[a]*phi[b])
*/
int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int calc()
{
        phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!m[i])//i为素数
        {
            p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知    
        }    
        for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<n;j++)  //用当前已的到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
        {
            m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数 
            if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质 
            {
                phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //特性2
                break;
            }
            else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,特性3其,p[j]-1就是phi[p[j]]   
        }
    }
}

公式法：

//1
int eular(int n)
{
    int ret=1,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            n/=i,ret*=i-1;
            while(n%i==0) n/=i,ret*=i;
        }
    }
    if(n>1) ret*=n-1;
    return ret;
}
// 2
int Phi(int N) {
    int m = (int)sqrt(N + 0.5), ans = N;
    for(int i=2; i<=m; i++)
        if(N % i == 0) {
            ans = ans / i * (i-1);
            while(N % i == 0) N /= i;
        }
    if(N > 1) ans = ans / N * (N-1);
    return ans;
}