具体数学-第9课（取整进阶与数论入门）

今天讲完了取整的最后一部分知识，并给第四章数论开了个头。

首先还是以一道例题开始我们今天的课程。

例题1

求和：

方法1

首先令
那么有

我们先算左半部分，先假设 ，那么有

而对于一般的 ，令 ，我们只需要计算 的部分，而这部分 ，所以结果为 。

所以总的结果为：

这里解释一下为什么没有算右半部分？因为右半部分就是 的这部分，已经计算过了。

方法2

因为 ，所以可以将原式替换掉，还是令 ，然后如下计算：

其中第二行交换了变量计算顺序。

定理1

这里直接介绍一个定理，就不证明了，过程比较复杂：

其中 是一个无理数。

这个公式说明了，无理数 的整数倍的小数部分均匀分布在 之间。

这就给了我们一个启示，我们可以用它来生成随机数啊！其他用处还有很多，自己想咯。

例题2

求如下和式：

其中整数 ， 也是整数。

通过枚举 ，可以发现和式满足如下形式：

那么怎么计算出来呢？

首先做一个变形：

这就将原来的和式分为了三个部分求和。

第一个部分为：

具体怎么算留到下一章节，这里通过枚举可以发现它的值是有周期的，周期重复次数是 。所以算出来结果为：

第二个部分为：

第三个部分为：

所以总的结果为：

这里我们对结果稍稍变形，可以得到另一个结果：

可以发现， 和 是对称的！所以可以得到如下结论：

这有什么用呢？当 特别大、 很小的时候可以大大减少项的个数！

如果我们令 ，就会发现，得到的式子和之前证过的一个式子一模一样！

到这里为止，第三章取整就讲完了，下面开始讲第四章数论部分。

数论相关性质

整除定义

注意这里整除的定义中要求 。

最大公约数和最小公倍数

定义我就不说了，大家应该都知道的。

欧几里得定理

又叫辗转相除法，就是用来求最大公约数的。

扩展欧几里得定理

在用欧几里得定理求到最大公约数之后，反过来可以将最大公约数表示为两个数的线性和：

性质1

如果 ，那么 。

性质2

这个就是用了交换律，按照因子顺序倒过来算。

性质3

这个虽然变成了二重求和，但是对于每个 ，其实只有一个 有效。

性质4

这个一眼就不一定能看出来了。

左边等于：

右边等于：

可以看出左右两边相等。

算数基本定理

一个整数可以唯一表示为若干个素数乘积：

所以用指数形式来表示一个整数 ，例如 ，那么 可以表示为：

最大公约数和最小公倍数也能很方便的用指数形式计算：
其中最大公约数的每个素数的指数等于两个数对应指数最小值，最小公倍数的每个素数的指数等于两个数对应指数最大值。