【每日算法Day 87】今天我脱单了，所以大家不用做题了！

想啥呢，我哪来的女朋友？今天是愚人节，还是给我老老实实做题吧。

题目链接

LeetCode 1111. 有效括号的嵌套深度[1]

题目描述

题面太长晦涩不想看，请直接跳到最后一段。

有效括号字符串 仅由 "(" 和 ")" 构成，并符合下述几个条件之一：

空字符串
连接，可以记作 AB（A 与 B 连接），其中 A 和 B 都是有效括号字符串
嵌套，可以记作 (A)，其中 A 是有效括号字符串

类似地，我们可以定义任意有效括号字符串 s 的 嵌套深度 depth(s)：

s 为空时，depth("") = 0
s 为 A 与 B 连接时，depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))，其中 A 和 B 都是有效括号字符串
s 为嵌套情况，depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)，其中 A 是有效括号字符串

例如：""，"()()"，和 "()(()())" 都是有效括号字符串，嵌套深度分别为 0，1，2，而 ")(" 和 "(()" 都不是有效括号字符串。

给你一个有效括号字符串 seq，将其分成两个不相交的子序列 A 和 B，且 A 和 B 满足有效括号字符串的定义（注意：A.length + B.length = seq.length）。

现在，你需要从中选出任意一组有效括号字符串 A 和 B，使 max(depth(A), depth(B)) 的可能取值最小。

返回长度为 seq.length 答案数组 answer ，选择 A 还是 B 的编码规则是：如果 seq[i] 是 A 的一部分，那么 answer[i] = 0。否则，answer[i] = 1。即便有多个满足要求的答案存在，你也只需返回一个。

不是我吹牛，我估计一大部分人看完都不知道题目什么意思。一句话概括就是，给你一个合法的括号序列，你需要将其拆分成两个合法的子序列（不连续），使得两个子序列的括号嵌套深度较大者尽量的小。

示例1

        输入：
seq = "(()())"
输出:
[0,1,1,1,1,0]
解释：
拆成 "()" 和 "()()" ，最大嵌套深度为 1

示例2

        输入：
seq = "()(())()"
输出:
[0,0,0,1,1,0,1,1]
解释：
拆成 "()()" 和 "()()" ，最大嵌套深度为 1

说明：

1 <= text.size <= 10000

题解

既然想要两个子序列的嵌套深度中较大者尽量小，那么我们最好能够让两个子序列的嵌套深度相同。

再考虑任意一个原序列中嵌套深度为 $d$ 的合法子序列，我们要想办法把它拆成两半。那么最优的方法肯定是一半嵌套深度为 $\lfloor d/2 \rfloor$ ，一半是 $d - \lfloor d/2 \rfloor$ 。这样两个子序列中嵌套深度较大值就是 $\lceil d/2 \rceil$ ，而其它任何分法都会导致较大值大于它。

那么怎么样才能对半分呢？这个其实随意了，但是最为方便的方法就是，嵌套深度为奇数的作为一个子序列，偶数的作为另一个子序列，这样就对半分了，代码还好写。

具体实现上，我们用一个变量 $cnt$ 来表示当前括号的嵌套深度，那么遇到左括号就深度加一，遇到右括号嵌套深度就是当前的 $cnt$ ，但是遍历完这个括号之后，深度要减一，然后嵌套深度为奇数的括号位置处标记为 1 就行了。

伪代码也就是：

        if c = '('
    cnt := cnt + 1
    mask := cnt&1
else
    mask := cnt&1
    cnt := cnt - 1

简化

其实我们可以注意到，不管是加一还是减一，奇偶性的变化都是一致的，也就是减一之后的奇偶性和加一之后是相同的。

所以我们把减一也变成加一，那么不管遇到什么括号，都是 $cnt$ 加一了，那不就变成了下标 $i$ 了吗？

我们把上面的伪代码按照这种思路改变一下：

        if c = '('
    cnt := cnt + 1
    mask := cnt&1
else
    mask := cnt&1
    cnt := cnt + 1

然后用下标 $i$ 替换掉 $cnt$ :

        if c = '('
    mask := (i+1)&1
else
    mask := i&1

继续改写一下，让形式统一一点：

        if c = '('
    mask := ~(i&1)
else
    mask := i&1

那么最后就可以把这两种情况合并了，也就是标记值直接就等于 (i&1)^(c='(') 。

当然我是从代码的角度，从奇偶性推过来的，官方题解是直接严格证明了正确性：

官方题解：LeetCode 1111. 有效括号的嵌套深度[2]

代码

c++

        class Solution {
public:
    vector<int> maxDepthAfterSplit(string seq) {
        int cnt = 0;
        vector<int> res;
        for (auto c : seq) {
            if (c == '(') {
                res.push_back((++cnt)&1);
            } else {
                res.push_back((cnt--)&1);
            }
        }
        return res;
    }
};

python

        class Solution:
    def maxDepthAfterSplit(self, seq: str) -> List[int]:
        cnt = 0
        res = []
        for c in seq:
            if c == '(':
                cnt += 1
                res.append(cnt&1)
            else:
                res.append(cnt&1)
                cnt -= 1
        return res

简化（c++）

        class Solution {
public:
    vector<int> maxDepthAfterSplit(string seq) {
        vector<int> res;
        for (int i = 0, sz = seq.size(); i < sz; ++i) {
            res.push_back((i&1)^(seq[i]=='('));
        }
        return res;
    }
};

简化（python）

        class Solution:
    def maxDepthAfterSplit(self, seq: str) -> List[int]:
        res = []
        for i, c in enumerate(seq):
            res.append((i&1)^(c=='('))
        return res