详解递归思想

写在前面的话

可能很多人在大一的时候，就已经接触了递归了，不过，我敢保证很多人初学者刚开始接触递归的时候，是一脸懵逼的，我当初也是，给我的感觉就是，递归太神奇了！
可能也有一大部分人知道递归，也能看的懂递归，但在实际做题过程中，却不知道怎么使用，有时候还容易被递归给搞晕。最近看了很多关于递归的知识，谈谈我的一些看法，或许，能够给你带来一些帮助。
为了兼顾初学者，我会从最简单的题讲起！

递归的三大要素

      第一要素：明确你这个函数想要干什么
      对于递归，我觉得很重要的一个事就是，这个函数的功能是什么，他要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。
      例如，我定义了一个函数

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){

}

      这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了，我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。
      第二要素：寻找递归结束条件
所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入无底洞。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。

      例如，上面那个例子，当 n = 1 时，那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧？此时，f(1) = 1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

      有人可能会说，当 n = 2 时，那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊，那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗？

      当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。

// 算 n 的阶乘(假设n>=2)
int f(int n){
    if(n == 2){
        return 2;
    }
}

      注意我代码里面写的注释，假设 n >= 2，因为如果 n = 1时，会被漏掉，当 n <= 2时，f(n) = n，所以为了更加严谨，我们可以写成这样：

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
}

      第三要素：找出函数的等价关系式
      第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。

      例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。
      说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即
f(n) = n * f(n-1)。

       这个等价关系式的寻找，可以说是最难的一步了，如果你不大懂也没关系，因为你不是天才，你还需要多接触几道题，我会在接下来的文章中，找 3 道递归题，让你慢慢熟悉起来。

      找出了这个等价，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数里。如下：

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 把 f(n) 的等价操作写进去
    return f(n-1) * n;
}

      至此，递归三要素已经都写进代码里了，所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。
这就是递归最重要的三要素，每次做递归的时候，你就强迫自己试着去寻找这三个要素。
还是不懂？没关系，我再按照这个模式讲一些题。

有些有点小基础的可能觉得我写的太简单了，没耐心看？少侠，请继续看，我下面还会讲如何优化递归。

案例1：斐波那契数列

      斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

      1、第一递归函数功能
      假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值，代码如下：

int f(int n){

}

      2、找出递归结束的条件
      显然，当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2。代码如下：

int f(int n){
    if(n <= 2){
        return 1;
    }
}

      第三要素：找出函数的等价关系式
      题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。
      所以最终代码如下：

int f(int n)
{ 
  // 1.先写递归结束条件 
   if(n <= 2)
  { 
   return 1; 
  } 
   // 2.接着写等价关系式 
   return f(n-1) + f(n - 2);
}

      搞定，是不是很简单？

零基础的可能还是不大懂，没关系，之后慢慢按照这个模式练习！好吧，有大佬可能在吐槽太简单了

      如果还想进一步了解斐波那契数列，可以看一下我的另一篇博客：https://blog.csdn.net/dreamispossible/article/details/80413530

案例2：小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

      1、第一递归函数功能
      假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：

int f(int n){

}

      2、找出递归结束的条件
      我说了，求递归结束的条件，你直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧？够直观吧？即 f(1) = 1。代码如下：

int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

      第三要素：找出函数的等价关系式

      每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。
      第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。
      第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。
所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：

int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
    ruturn f(n-1) + f(n-2);
}

大家觉得上面的代码对不对？

      答是不大对，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。

      这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：

int f(int n){
    //经过分析，f(2)=2也是一个临界条件。
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    ruturn f(n-1) + f(n-2);
}

      有人可能会说，我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办？别怕，多练几道就知道怎么办了。
      看到这里有人可能要吐槽了，这两道题也太容易了吧？？能不能被这么敷衍。少侠，别走啊，下面出道难一点的。

下面其实也不难了，就比上面的题目难一点点而已，特别是第三步等价的寻找。

案例3：反转单链表

反转单链表。例如链表为：1->2->3->4。反转后为 4->3->2->1

链表的节点定义如下：

class Node{
    int date;
    Node next;
}

      虽然是 Java语言，但就算你没学过 Java，我觉得也是影响不大，能看懂。
      还是老套路，三要素一步一步来。
      1、定义递归函数功能
      假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表，其中 head 表示链表的头节点。代码如下：

Node reverseList(Node head){

}

      2. 寻找结束条件
      当链表只有一个节点，或者如果是空表的话，你应该知道结果吧？直接啥也不用干，直接把 head 返回呗。代码如下：

Node reverseList(Node head){
    if(head == null || head.next == null){
        return head;
    }
}

      3. 寻找等价关系
      这个的等价关系不像 n 是个数值那样，比较容易寻找。但是我告诉你，它的等价条件中，一定是范围不断在缩小，对于链表来说，就是链表的节点个数不断在变小，所以，如果你实在找不出，你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍，看看结果是咋样的。例如链表节点如下

      我们就缩小范围，先对 2->3->4递归下试试，即代码如下

Node reverseList(Node head)
{ 
   if(head == null || head.next == null)
   {
     return head; 
   } // 我们先把递归的结果保存起来，先不返回，因为我们还不清楚这样递归是对还是错。
   Node newList = reverseList(head.next); 
}

      我们在第一步的时候，就已经定义了 reverseLis t函数的功能可以把一个单链表反转，所以，我们对 2->3->4反转之后的结果应该是这样：

      我们把 2->3->4 递归成 4->3->2。不过，1 这个节点我们并没有去碰它，所以 1 的 next 节点仍然是连接这 2。
      接下来呢？该怎么办？
      其实，接下来就简单了，我们接下来只需要把节点 2 的 next 指向 1，然后把 1 的 next 指向 null,不就行了？，即通过改变 newList 链表之后的结果如下：

      也就是说，reverseList(head) 等价于 reverseList(head.next) + 改变一下1，2两个节点的指向。好了，等价关系找出来了，代码如下(有详细的解释)：

//用递归的方法反转链表 
public static Node reverseList2(Node head)
{ 
// 1.递归结束条件
 if (head == null || head.next == null)
  {
   return head; 
   } 
   // 递归反转 子链表 
   Node newList = reverseList2(head.next);
    // 改变 1，2节点的指向。 
    // 通过 head.next获取节点2 
    Node t1 = head.next; 
    // 让 2 的 next 指向 2 
    t1.next = head; 
    // 1 的 next 指向 null. 
    head.next = null; 
    // 把调整之后的链表返回。
     return newList; 
     }

      这道题的第三步看的很懵？正常，因为你做的太少了，可能没有想到还可以这样，多练几道就可以了。但是，我希望通过这三道题，给了你以后用递归做题时的一些思路，你以后做题可以按照我这个模式去想。通过一篇文章是不可能掌握递归的，还得多练，我相信，只要你认真看我的这篇博客，多看几次，一定能找到一些思路！！

有关递归的一些优化思路

      1. 考虑是否重复计算
       告诉你吧，如果你使用递归的时候不进行优化，是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。

啥是子问题？ f(n-1),f(n-2)…就是 f(n) 的子问题了。

      例如对于案例2那道题，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下：

      看到没有，递归计算的时候，重复计算了两次 f(5)，五次 f(4)。。。。这是非常恐怖的，n 越大，重复计算的就越多，所以我们必须进行优化。

      如何优化？一般我们可以把我们计算的结果保证起来，例如把 f(4) 的计算结果保证起来，当再次要计算 f(4) 的时候，我们先判断一下，之前是否计算过，如果计算过，直接把 f(4) 的结果取出来就可以了，没有计算过的话，再递归计算。

      用什么保存呢？可以用数组或者 HashMap 保存，我们用数组来保存把，把 n 作为我们的数组下标，f(n) 作为值，例如 arr[n] = f(n)。f(n) 还没有计算过的时候，我们让 arr[n] 等于一个特殊值，例如 arr[n] = -1。

      当我们要判断的时候，如果 arr[n] = -1，则证明 f(n) 没有计算过，否则， f(n) 就已经计算过了，且 f(n) = arr[n]。直接把值取出来就行了。代码如下：

// 我们实现假定 arr 数组已经初始化好的了。
 int f(int n)
 { 
    if(n <= 1)
    { 
      return n; 
    } 
     //先判断有没计算过 
     if(arr[n] != -1)
    { 
      //计算过，直接返回 
       return arr[n];
    }
     else
     {
      // 没有计算过，递归计算,并且把结果保存到 arr数组里 
        arr[n] = f(n-1) + f(n-1); 
        reutrn arr[n]; 
      } 
 }

      也就是说，使用递归的时候，必要 须要考虑有没有重复计算，如果重复计算了，一定要把计算过的状态保存起来。
      2. 考虑是否可以自底向上
      对于递归的问题，我们一般都是从上往下递归的，直到递归到最底，再一层一层着把值返回。
不过，有时候当 n 比较大的时候，例如当 n = 10000 时，那么必须要往下递归10000层直到 n <=1 才将结果慢慢返回，如果n太大的话，可能栈空间会不够用。

      对于这种情况，其实我们是可以考虑自底向上的做法的。例如我知道
      f(1) = 1;
      f(2) = 2;
      那么我们就可以推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。从而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此，我们可以考虑使用自底向上的方法来取代递归，代码如下：

public int f(int n)
 {
    if(n <= 2)
     return n; 
    int f1 = 1;
    int f2 = 2; 
    int sum = 0; 
    for (int i = 3; i <= n; i++)
     { 
     sum = f1 + f2;
      f1 = f2;
       f2 = sum; 
     } 
     return sum; 
}

      这种方法，其实也被称之为递推。

最后总结

      其实，递归不一定总是从上往下，也是有很多是从下往上的，例如 n = 1 开始，一直递归到 n = 1000，例如一些排序组合。对于这种从下往上的，也是有对应的优化技巧
      说实话，对于递归这种比较抽象的思想，要把它讲明白，特别是讲给初学者听，还是挺难的。以上这些是我看了很多博客和刷题的结果，不过，只要能让你们有所收获，我觉得值得！