并查集
在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受;即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间(1~3秒)内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。常常在使用中以tree来表示。
用途
- 维护一个无向图的连通性，判断n个点m条边时最少加多少边可以连通所有点
- 判断在一个无向图中，两点间加边是否会产生环（最小生成树克鲁斯卡尔中有用到）
- 维护集合等操作
操作
（1）Union(Root1, Root2):把子集合Root2并入集合Root1中。要求这两个集合互不相交，否则不执行合并。
（2）Find(x)：搜索单元素x所在的集合，并返回该集合的名字。
（3）UnionFindSets(s):构造函数，将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合。
初始化
用数组来建立一个并查集，数组下标代表元素，下标对应的值代表父节点，全部初始化为-1，根节点为一个集合的元素个数，数组的长度为并查集的初始连通分量的个数。并查集要求各集合是不相交的，因此要求x没有在其他集合中出现过。算法如下：
//构造函数
UF(int size){
this->count = size;
array = new int[size];
for(int i = 0 ; i < size ; i++){
this->array[i] = -1;
}
}
查找操作
返回能代表x所在集合的节点，通常返回x所在集合的根节点。这里的查找操作通常采用路径压缩的办法，即在查找过程中组不减小树的高度，把元素逐步指向一开始的根节点。这样下次再找根节点的时间复杂度会变成o(1)。如下图所示
算法如下：
//查找操作，路径压缩
int Find(int x){
if(this->array[x] < 0){
return x;
}else{
//首先查找x的父节点array[x]，然后把根变成array[x],之后再返回根
return this->array[x] = Find(this->array[x]);
}
}
并操作
将包含x,y的动态集合合并为一个新的集合。合并两个集合的关键是找到两个集合的根节点，如果两个根节点相同则不用合并；如果不同，则需要合并。
这里对并操作有两种优化：根节点存树高的相反数或者根节点存集合的个数的相反数，这两种方法统称按秩归并。通常选用第二种方法。
归并过程如下图：
算法如下：
//并操作,跟结点存储集合元素个数的负数
//通过对根结点的比较
void Uion(int root1, int root2){
root1 = this->Find(root1);
root2 = this->Find(root2);
if(root1 == root2){
return;
}else if(this->array[root1] < this->array[root2]){
//root1所代表的集合的个数大于root2所代表集合的个数
//因为为存放的是元素个数的负数
this->array[root1] += this->array[root2];
this->array[root2] = root1;
count--;
}else{
this->array[root2] += this->array[root1];
this->array[root1] = root2;
count--;
}
}
}
实现方案
1 树结构（父指针表示法）
用这种实现方式，每个集合用一棵树表示，树的每一个节点代表集合的一个单元素。所有各个集合的全集合构成一个森林，并用树与森林的父指针表示法来实现。其下标代表元素名。第I个数组元素代表包含集合元素I的树节点。树的根节点的下标代表集合名，根节点的父为-1，表示集合中元素个数。
下面看一个例子：
全集合是S = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，初始化每个元素自成为一个单元素子集合。（书上原图，感觉挺清晰的）
经过一段时间的计算，这些子集合并成3个集合，他们是全集合S的子集合：S1 = {0，6，7，8}，S2= {1，4，9}，S3 = {2，3，5}。则表示他们并查集的树形结构如下图：
上面数组中的元素值有两种含义：
（1）负数表示当前节点是树的根节点，负数的绝对值表示树中节点的个数，也即集合中元素的个数。
（2）正数表示其所属的树的根节点，由树形表示很容易理解，这也是树的父指针表示的定义。
经过上面对相关数据的组织，再回头来看并查集的3中核心操作是怎样依托于树来实现的：
（1）将root2并入到root1中，其实就可以直接把root2的数组元素（就是他的父节点）改成root1的名字（就是他所在的数组下标）。
下面的图表示了合并两个子集合的过程：
（2）查找x所属于的根节点（或者说是x所属于的集合），就可以一直找array[x]，直到array[x]小于0，则证明找到了根（所在集合）。
下面的图示意了查找一个节点所属集合的过程：
（3）将整个集合初始化为单元素集合，其实就是建立树的父指针数组的过程，把数组元素全初始化为-1，也就表示了每个元素都各占一个集合。
有了上面的理论，代码也比较容易实现出来！下面给出了一个代码的实例：
/*
*树结构构建并查集，其中树用父指针形式表示
*/
#include <iostream>
const int DefaultSize = 10;
class UFSets { //集合中的各个子集合互不相交
public:
UFSets(int sz = DefaultSize); //构造函数 (并查集的基本操作)
~UFSets() { delete[] parent; } //析构函数
UFSets& operator = (UFSets& R); //重载函数：集合赋值
void Union(int Root1, int Root2); //两个子集合合并 (并查集的基本操作)
int Find(int x); //搜寻x所在集合 (并查集的基本操作)
void WeightedUnion(int Root1, int Root2); //加权的合并算法
private:
int *parent; //集合元素数组(父指针数组)
int size; //集合元素的数目
};
UFSets::UFSets(int sz) {
//构造函数，sz是集合元素的个数,父指针数组的范围0到sz-1
size = sz; //集合元素的个数
parent = new int[size]; //开辟父指针数组
for (int i = 0; i < size; i ++) { //初始化父指针数组
parent[i] = -1; //每个自成单元素集合
}
}
int UFSets::Find(int x) {
//函数搜索并返回包含元素x的树的根
while (parent[x] >= 0) {
x = parent[x];
}
return x;
}
void UFSets::Union(int Root1, int Root2) {
//函数求两个不相交集合的并，要求Root1与Root2是不同的，且表示了子集合的名字
parent[Root1] += parent[Root2]; //更新Root1的元素个数
parent[Root2] = Root1; //令Root1作为Root2的父节点
}
void UFSets::WeightedUnion(int Root1, int Root2) {
//使用节点个数探查方法求两个UFSets集合的并
int r1 = Find(Root1); //找到root1集合的根
int r2 = Find(Root2); //找到root2集合的根
if (r1 != r2) { //两个集合不属于同一树
int temp = parent[r1] + parent[r2]; //计算总节点数
if (parent[r2] < parent[r1]) { //注意比较的是负数，越小元素越多,此处是r2元素多
parent[r1] = r2; //r1作为r2的孩子
parent[r2] = temp; //更新r2的节点个数
}
else {
parent[r2] = r1; //...
parent[r1] = temp; //...
}
}
}
代码的注释比较详尽，我就不在赘言。但是有一个注意点我已经写在了下面！
当前并查集的改进！
的确，有一个极端的状况使得上面的树实现的并查集性能低下！问题原因在于，这里没有规定子集合并的顺序，更确切的说是子集一直在向同一个方向依附：
下面的图片展示了当Union(0，1),Union(1，2),Union(2，3),Union(3，4)执行完后的树的形状。
在这种极端情况下他编变成了一个单链表（退化的树），这样的话，用Find函数查找完所有的节点所归属的集合将会开销的时间复杂度为：O(n^2)。
