1 简介

1.1 从排中律开始

早在亚里士多德就引用了同一律，矛盾律和排中律作为条理化的公理作为推理的基础。

他部分地将未来的或关于不确定的未来事件的陈述，通过排中律排除在外。

内容：在同一个论题中，两个相互矛盾 的命题不能同假，必有一真。

公式：

	‘φ ∨ ¬φ.’

	¬（P ∧ ¬P）

证明：

定义 p → q = ~p ∨ q。 
在此规则中，将 p 替换为 q 得到 p → p = ~p ∨ p。 
    由于 p → p 为真（这是定理，已被单独证明），那么 ~p ∨ p 必须为真。

逻辑通常是通过构建逻辑系统来研究的。

其本质上是一种通过应用递归规则（即可以重复应用于其自身输出的规则）来机械地列出逻辑某些部分的所有逻辑真理的方法。

有一些编程技巧的人，都知道递归在程序代码中的使用其实非常普遍。

上图：柏拉图和亚里士多德

1.0 排中律的价值

• 逻辑真正核心价值在于

    什么是基本逻辑？独立友好是逻辑的真正核心领域。
  

逻辑概念及其解释在自然语言中的表达方式通常非常复杂。为了达到逻辑真理和有效推论的概述，逻辑学家开发了各种简化的符号。

对于每个命题P，无论是P还是它的否定，not-p，都是真的，它们之间没有“中间”真命题.

如果一个强烈的现实主义真理概念被一个限制什么的反现实主义概念所取代，依据排中律，之前的现实主义真理就不能再被证明是合理的。

排中律的作用在于保证思维的明确性。违法排中律的逻辑错误叫做 模棱两可
所以两个矛盾的命题 不能同时 正确，否则自相矛盾的错误。
	也不能同时否定，否则犯两不可错误。

它可以保证，不能模棱两可，也不能 两不可， 此类的错误。 这就是二值原则。 或称为二值逻辑，二分法价值观。

一个语言描述句子是否为真，由客观世界的实际情况决定，与撰写该句子的人是否知道句子的真假无关。

当解释它们的非逻辑概念时，这种符号可以被认为是人工语言;在这方面，它们可与计算机语言相媲美，实际上与其中一些语言密切相关。如上的定义和证明过程，说明了一个这样类型的符号。

近代的逻辑学发展，已经将排中律限制在某些场景，证明它不是任何场景都可使用的普遍真理，而只在某些基础场景可用。

1.1 近代的发展

排中律的二选一特征被20世纪初的数学家，比如数学直觉主义所拒绝，

后期被波兰数学家武卡谢维奇(Łukasiewicz)发展.

他通过微积分的方式给出了微积分具有的第三个真值，既不是真也不是假，

在这种微积分中，矛盾律和排中律都失败了，并且该微积分方法在通信领域得到很好的应用。

其他系统，如哥德尔不完备定理和模态逻辑也已经超越了三值逻辑到多值逻辑。 例如，某些概率逻辑在真值和假性之间具有不同程度的真值。

1.2 直觉主义和多值逻辑

19世纪的荷兰数学家布劳威尔 Luitzen Egbertus Jan Brouwer,(1881年出生于荷兰奥弗希 - 1966 年死于布拉里库姆).

数学直觉主义,是一种将数学的本质视为受不证自明的定律支配的心理结构的学说，其工作彻底改变了拓扑学，即几何表面和配置的最基本属性的研究。

布劳威尔于1897年至1904年在阿姆斯特丹大学学习数学。即便如此，他也对哲学问题感兴趣，他在1905对于“生活、艺术和神秘主义”非常感兴趣，在他的博士论文《Over de grondslagen der Wiskunde》（1907年;在《论数学的基础》一书中附带).

布劳威尔抨击了以德国数学家大卫·希尔伯特和英国哲学家伯特兰·罗素为代表的数学逻辑基础，并塑造了直觉主义学派的开端。

次年，在《论逻辑原理的不可信性》一书中，他拒绝在数学证明中使用排中律（或排除第三）原则，认为这是无效的。

根据这个原则，每个数学陈述要么是真的，要么是假的;不允许有其他可能性。布劳威尔否认这种二分法适用于无限的场景，比如无限集合。

他在1909年至1913年间在拓扑学方面做了大部分重要工作。

在研究希尔伯特的工作时，他发现了平面平移定理，它表征了笛卡尔平面的拓扑映射，以及他的第一个不动点定理，该定理后来在帮助数学分支中建立一些基本定理(如微分方程和博弈论)时变得很重要.

1911年，他建立了关于流形维数不变性的定理。

此外，他还将德国数学家乔治·康托尔(GeorgCantor)开发的方法与拓扑学早期阶段的情景分析方法相结合。

鉴于他的杰出贡献，许多数学家认为布劳威尔是拓扑学的奠基人。

1918年，他发表了集合论，次年发表了测度理论，到1923年，他发表了函数理论，所有这些都是在不使用排中律原理的情况下发展起来的。

他继续他的研究直到1954年，尽管他的戒律没有得到广泛的接受，但直觉主义在第二次世界大战后重新引起了人们的兴趣，这主要是因为美国数学家斯蒂芬·科尔·克莱恩的贡献。

思想规律是整个逻辑的充分基础，或者说所有其他逻辑原则只是对它们的阐述，这是传统逻辑学家的共同承认的学说。

2 突破局限性：不完备性和模态逻辑

奥地利（后来的美国）逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在1931年证明的重要“不完备性”定理及其各种结论和扩展证明了这一事实。

哥德尔证明，任何包含一定数量初等算术的一致公理化理论都不可能完全公理化。

在这个意义上，高阶逻辑是不完整的，所以任何相当强大的集合论系统都是不完整的。

虽然可以为它们建立语义理论，但它们几乎不能再被描述为给出实际规则——无论如何是完整的规则——用于正确的推理或有效的论证。

由于这个缺点，逻辑的几个传统定义似乎不适用于逻辑研究的这些高阶部分。

而模态逻辑是这样情况的补充， 模态逻辑在狭义上可以被定义为对逻辑必要性和可能性的研究;

因为即使是量化的模态逻辑也承认完全公理化。

然而，在这一领域还出现了其他相关问题。

试图将这样一个概念解释为语法谓词的逻辑必要性是很诱人很有市场的。

哥德尔和蒙塔古的这些发现与可计算性的一般研究密切相关， 可计算性通常被称为递归函数理论（见数学基础：1900年后的数学危机：逻辑主义，形式主义和元数学方法），是当代逻辑最重要的分支之一。

所涉及的主要理想（与实际可实现的计算机相比）是潜在图灵机的无限纸带的可用性。

在逻辑的这一部分，函数——或控制数值或其他精确的一对一或多对一关系的定律——被研究为计算的可能性; 即有效或机械地可计算。可以这样计算的函数称为递归函数。

递归函数的定义之一是，它们可以通过一种称为图灵机的理想化自动机(以英国数学家和逻辑学家Alan Mathison Turing命名)进行计算。

因此，递归函数理论可以被认为是这些理想化自动机的理论。

楼梯: 环形无尽楼梯

小结

相对于从亚里士多德以公理化为基础的推理，模型理论涉及与公理化性不同的完备性和不完备性的概念。

在20世纪，排中律和某些相关定律被荷兰数学家布劳威尔，数学直觉主义的创始人和他的学派所拒绝，他们不承认它们在涉及无限类的所有成员的数学证明中使用。

波兰逻辑学派的主要成员扬·武卡谢维奇（Jan Łukasiewicz）为亚里士多德的未来场景提出了一个命题演算，

该微积分具有第三个真值，既不是真也不是假，在这种微积分中，矛盾定律和排中律都失败了。

在后一种意义上不完备的系统，在所有相关的逻辑真理都是系统的有效模型理论结果的意义上，也可以是完整的。

因此，任何对逻辑的详尽研究——事实上，任何有用的逻辑研究——都应该包括对推理战略原则的讨论。

推理规则系统的制定并没有穷尽逻辑科学。规则管理、目标导向的活动通常最好通过从游戏研究中借来的概念来理解。

逻辑的“游戏”也不例外。例如，博弈论最基本的思想之一是博弈的最终规则与其战略规则之间的区别。明确的规则定义了游戏中什么是允许的，什么是不允许的。

其后的模态逻辑和不完备定理也对该方向的发展提供了动力。