Day50：常用降维算法详解与案例

上一节中，我们介绍了聚类这种无监督学习算法，在本节中，我们将介绍另一种无监督方法——降维算法。降维算法可以帮助我们将高维数据映射到低维空间，从而减少特征数量，去除冗余信息，并保留数据的主要结构和变化趋势。这有助于可视化数据、减少计算成本和处理高维数据的困难。

1. 主成分分析（PCA）

主成分分析是一种常用的降维算法，它通过线性变换将原始数据映射到一个新的特征空间，使得新特征之间的相关性尽可能低。

• 算法步骤：
  • 标准化数据集，使每个特征的均值为0，方差为1。
  • 计算数据集的协方差矩阵。
  • 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
  • 选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分，构建投影矩阵。
  • 将原始数据集映射到新的特征空间。
• 优点：可以在保留数据变异性的同时降低数据维度；简单、快速，并且易于实现；适用于线性相关的数据集。
• 缺点：对异常值和噪声敏感；无法处理非线性关系；只能对数值型数据进行降维。

我们来看看使用sklearn库中的PCA算法进行降维的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA

# 创建示例数据集
np.random.seed(0)
n_samples = 1000
X = np.random.randn(n_samples, 2)  # 2维特征

# 创建PCA对象，指定降维后的维度
pca = PCA(n_components=1)

# 使用数据集进行降维
X_reduced = pca.fit_transform(X)

# 绘制降维结果图
plt.scatter(X_reduced, np.zeros_like(X_reduced))
plt.title('PCA Dimensionality Reduction')
plt.xlabel('Principal Component')
plt.show()

在上述代码中，我们使用np.random生成了一个二维的示例数据集。然后，我们使用PCA类创建了一个PCA对象，并指定降维后的维度为1。接下来，我们使用数据集进行降维，并将降维后的结果绘制成散点图。

2. 线性判别分析（LDA）

线性判别分析是一种常用的降维算法，主要用于分类问题，故它不是无监督的学习方法。它通过投影变换将原始数据映射到一个新的特征空间，使得同类样本的投影尽可能近，不同类样本的投影尽可能远。

• 算法步骤：
  • 计算每个类别样本的均值向量和类内散度矩阵。
  • 计算所有类别样本的总体均值向量和总体散度矩阵。
  • 计算类间散度矩阵和类内散度矩阵的广义特征值和广义特征向量。
  • 选择前k个广义特征值对应的广义特征向量作为投影矩阵。
  • 将原始数据集映射到新的特征空间。
• 优点：能够找到能够最好地区分类别的投影方向；可以在降维的同时实现分类任务；适用于有监督学习的降维问题。
• 缺点：无法处理非线性关系；对于高维数据，可能出现维度灾难；需要有标签的数据集。

我们来看看使用sklearn库中的LDA算法进行降维的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis

# 创建示例数据集
np.random.seed(0)
n_samples = 1000
X1 = np.random.multivariate_normal(mean=[0, 0], cov=[[1, 0], [0, 1]], size=n_samples // 2)
X2 = np.random.multivariate_normal(mean=[3, 3], cov=[[1, 0], [0, 1]], size=n_samples