点击上方卡片链接就可以进入专栏，专栏右上角有订阅选项，欢迎大家订阅～

前言

大家好，我是鬼仔，今天带来《机器学习高频面试题详解》专栏的第2.4节：降维算法-奇异值分解。这是鬼仔第一次开设专栏，每篇文章鬼仔都会用心认真编写，希望能将每个知识点讲透、讲深，帮助同学们系统性地学习和掌握机器学习中的基础知识，希望大家能多多支持鬼仔的专栏～

目前这篇是试读，后续的文章需要订阅才能查看哦，专栏预计更新30+篇文章（只增不减），具体内容可以看专栏介绍，大家的支持是鬼仔更新的动力！

一、原理

1. 降维算法

真实数据中，往往存在着很多冗余特征，需要利用降维算法进行数据压缩。降维算法可将高维数据映射到低维空间中，同时保留尽可能多的原始信息。降维在数据挖掘、图像处理、自然语言处理等领域都有广泛应用。

降维算法有以下几个优点：

1）数据可视化

处理高维数据时，往往需要对数据进行可视化展示，但是高维数据很难可视化展示。通过使用降维算法将高维数据映射到低维空间，可以更容易地实现数据可视化。

2）减少计算量

高维数据计算复杂度很高，因此将高维数据映射到低维空间，可以减少计算量，提高计算效率。对于大规模数据及高维特征数据，进行降维处理可以加快数据处理和分析的速度。

3）剔除冗余信息

高维数据中存在大量的冗余信息，这些信息对于分类、预测等任务并不重要，反而可能影响模型的准确性。通过降维算法可以去除或减少冗余信息，提高模型的准确性。

4）提高特征的鲁棒性

高维数据中可能存在特征之间的相关性或者噪音，这些信息可能会影响模型的鲁棒性。通过降维算法可以对特征进行筛选和组合，提高特征的鲁棒性，降低模型的过拟合风险。

5）数据压缩

降维算法可以将高维数据压缩到低维空间中，从而减少数据存储空间，降低数据存储成本。通常在数据传输、存储、备份等方面应用广泛。

降维算法可以分为特征变换和特征筛选两类，特征变换是将高维冗余特征变换为低维关键特征，具体可以细分为线性降维和非线性降维两类，其中线性降维算法假设数据在高维空间中呈线性分布，非线性降维算法则没有这种假设。特征筛选则是在原有特征集合中用特定算法筛选出有效特征。这篇主要讲解特征变换的线性降维算法：奇异值分解-SVD。

2. 奇异值分解

特征值分解和奇异值分解有着紧密的关系，它们的分解目的都一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示对应特征的重要性，而特征向量表示这个特征是什么，但特征值分解有很大的局限性，要求变换的特征矩阵必须是方阵。

而奇异值分解适用于任意矩阵。如下图所示，假设A是一个N * M的矩阵，那么得到的U是一个N * N的方阵（里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量），Σ是一个N * M的矩阵（除了对角线的元素都是0，对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵，里面的向量也是正交的，V里面的向量称为右奇异向量），

3. 截断奇异值分解

奇异值跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且奇异值减少特别地快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。因为，可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，即可引出截断奇异值分解：

r是一个远小于m、n的数，右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵。r越接近于n，则相乘的结果越接近于A。这三个矩阵的存储大小远小于原始的矩阵A，当我们指定一个奇异值个数为r时(r小于数据原始的维度)，只计算前r个奇异值，就有，其中就是经过降维的数据集。

二、面试真题

1. 简要介绍下奇异值分解？

奇异值分解是一种矩阵因式分解方法，简称SVD。将任何给定矩阵分解为三个矩阵的乘积：一个正交的左奇异向量矩阵、一个对角的奇异值矩阵和一个正交的右奇异向量矩阵。将数据集的奇异值表征按重要性排列，舍弃不重要的特征向量，达到降维的目的，从而找出数据中的主成分。它在应用如数据降维、信息检索、信号处理和图像压缩等领域具有重要作用。

2. 奇异值分解的优缺点？

1）优点

• 信息保留：SVD 使得数据保留尽可能多的原始信息。这是通过思考数据矩阵的奇异值（降序排列），然后仅使用前 k 个较大的奇异值及其对应的左右奇异向量来重构数据，实现降维的目的。
• 稳定性：SVD 具有优秀的数值稳定性，分解的过程通常具有较小的数值误差。因此，SVD 在处理大规模数据时，甚至在存在噪声的情况下，也可以提供令人满意的结果。
• 无需标签：SVD 是一种无监督的降维方法，意味着它不需要目标变量或标签来优化或调整参数。因此，它更容易对没有标签的数据应用。
• 去除噪声和冗余：SVD 能够捕捉数据的主要结构，并识别主成分，将噪声或副作用分离出去。这帮助减少数据中的噪音和冗余信息，从而减少后续建模的复杂性。

2）缺点

• 计算复杂度：SVD 的计算复杂度相对较高，尤其在处理大规模高维数据时。这可能导致降维过程变得缓慢，甚至在计算资源有限的情况下难以执行。