数分岗有关『概率论系列』都爱考点啥？
为了让大家更好的理解
打算将对系列高频考点逐个击破
往期考点传送门--》评论区里见
对贝叶斯&大厂笔试真题做深入解析
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本文结构速览：
一、原理推导
二、样例解析
三、笔试真题
一、原理推导
我们先用大白话理解一番：
之所以有概率一说，是因为我们对还没发生的事情（B）拿捏不准
但好在有时能有参考信息（条件Ai），所以咱就把这参考信息的每种情况都罗列出来，再来计算当每个参考信息发生时B这事发生的概率，综合汇总后就是这件事（B）发生的概率。
这就是所谓的全概率计算思想——直接求B有时候实在太难了，那咱就分而治之，逐个击破，达到目的！
贝叶斯其实要解决的问题，和全概率相反：
是我们目前已知了B发生的概率，现在要反向根据条件概率的思想，倒回去，求解某个参考信息，也就是导致事情B发生的某个 "原因"Ai是多少（即后验概率）
▌符号定义
① P(A) : 事件A发生的概率
② P(B)：事件B发生的概率
③ P(AB)：事件A和事件B同时发生的概率
④ P(A|B)：已知事件B发生，事件A发生的概率
⑤ P(B|A)：已知事件A发生，事件B发生的概率
▌全概率公式
如果事件A1，A2，...., An构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集。且P(Ai)>0，那么对任意事件B： 
▌贝叶斯公式
由条件概率公式可知：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
所以 
▼如果A事件拢共就两种情况
由全概率公式可得：
▼如果A事件有多种情况，那么分母代入 即可
二、样例解析
为方便大家理解，引入新冠疫情的例子
▌定义
① 事件A的定义：得了新冠。
② 事件B的定义：检测为阳性。
③ P(A|B)为：已知检测为阳性，得新冠的概率。
④ P(B|A)为：已知得了新冠，检测为阳性的概率。
▌假设
假设检测的准确性是99%，也就是
P(A)=0.0001，得新冠为万分之一的概率
▌问题
假设今日张三做核酸检测结果为阳性
请问张三得新冠的概率是多少？
▌解答
由贝叶斯公式可得
也就是说，张三检测为阳性，得新冠的概率为1%.
▌补充理解
假设此刻你到清华大学，作为学霸府邸
如果清华大学同学IQ值大于110的概率为0.9999
那么此时有个同学有一道简单高等数学题做不出来
如果让你去判断该同学的IQ值是否低于110
你给出的结果很有可能是，否
也就是这位同学依旧是高智商
理由是：
基于高智商的认知
即便现在得到的结果是相反的
但依旧有很大可能是高智商
这就是贝叶斯
三、笔试真题
▌笔试真题1
「网易」现在有一个程序由A，B两个同学结对编程完成，在整个程序中的代码比例是3:5，据往常的统计A同学的千行代码缺陷率为0.1% ，B同学的千行代码缺陷率为0.15% ，现在在改程序中发现了一个缺陷，那么是由A同学的代码引起的缺陷的概率为( )
A 28.6%
B 37.5%
C 40.0%
D 47.4%
事件A：A同学编写代码，P(A)=3/8
事件B：B同学编写代码，P(B)=5/8
事件C：BUG事件
P(C|A)=0.1%
P(C|B)=0.15%
P(A|C)=P(A)P(C|A) / (P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B))
P(A|C)=(3/8*0.1%) / (3/8*0.1%+5/8*0.15%)
P(A|C)=28.6%
★解题思路2：
假设A写了3000行，B写了5000行
那么A写了30个bug，B写了75个
发现1个bug，是A写的概率是30/(30+75)=28.6%
▌笔试真题2
「搜狐」所有人口中，某癌症的患病率为0.008。对有癌症的病人，医院的化验测试有2%的可能错判其无癌症。对无癌症的病人，有3%的可能错判其有癌症。问：现有一新病人，化验测试表明其有癌症，该病人实际患有癌症的概率是多少？（计算过程四舍五入保留4位小数）（ ）
A 0.0078
B 0.0298
C 0.2085
D 0.9800
正确答案： C
★解题思路：
事件A1：患有癌症，P(A1)=0.008
事件A0：没有癌症，P(A0)=0.992
事件B1：检测出患有癌症，P(B1 | A0)=0.03
事件B0：检测没有癌症，P(B0 | A1)=0.02
所以 P(B1 | A1)=0.98
P(A1 | B1) = P(B1|A1)*P(A1)
/[P(B1|A1)*P(A1)+P(B1|A0) ]
P(A1|B1)=(0.98*0.008)/[0.98*0.008+0.03*0.992]
P(A1|B1) =0.2085
▌笔试真题3
「阿里巴巴」假设淘宝用户上的用户看到一个商品后购买的概率是5%，收藏的概率是20%，而用户收藏一个商品之后购买的概率是20%，那么已知某用户看到某商品之后完成了购买，那么该用户收藏过该商品的概率是（ ）。
A 60%
B 70%
C 80%
D 90%
正确答案： C
★解题思路：
事件A1：购买，P(A1)=5%
事件A0：未购买，P(A0)=95%
事件B1：收藏商品，P(B1)=20%
事件B0：未收藏商品，P(B0）=80%
P(A1 | B1) = 20%
P(B1 | A1) = P(A1,B1)/P(A1)
P(B1 | A1) =P(A1 | B1)*P(B1) / P(A1)
P(B1 | A1) = 20%*20% / 5% = 80%
▌笔试真题4
「360公司」考虑两队之间的足球比赛：队0 和队1。假设65%的比赛队0胜出、P(Y=0)=0.65。剩余的比赛队1胜出、P(Y=1)=0.35。队0获胜的比赛中只有30%在队1的主场、P(X=1|Y=0)=0.3，而队1获胜的比赛中75%是主场获胜、P(X=1|Y=1)=0.75。则队1在主场获胜的概率即P(Y=1|X=1)为：
A 0.57
B 0.42
C 0.69
D 0.28
正确答案： A
★解题思路：
事件Y0：0队获胜，P(Y0)=65%
事件Y1：1队获胜，P(Y1)=35%
事件X0：0队主场
事件X1：1队主场
P(X1 | Y0)=30%，P(X1 | Y1)=75%
P(X1)=P(X1 | Y0)P(Y0)+P(X1 | Y1)P(Y=1)
P(X1)=0.4575
P(Y1 | X1)=P(X1 | Y1)*P(Y1)/P(X1)=0.57
▌笔试真题5
「携程」假设箱子中苹果和梨子的数量比是2:1，储存期间苹果腐烂的概率是0.02，梨子腐烂的概率是0.01。现在有一水果腐烂，求该水果是苹果的概率（）
A 0.80
B 0.75
C 0.67
D 0.33
正确答案： A
★解题思路：
P(苹果)=2/3
P(梨)=1/3
P(腐烂 | 苹果) = 0.02
P(腐烂 | 梨) = 0.01
P(苹果 | 腐烂) = P(苹果)*P(腐烂 | 苹果)
/ ( P(苹果)P(腐烂 | 苹果) + P(梨)P(腐烂 | 梨))
P(苹果 | 腐烂) =0.8
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