2022-08-21 08:44 厦门大学深度学习发布于福建

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【CV知识点扫盲】|激活函数篇

最近正值秋招季，很多同学都在忙着复习深度学习相关的基础知识应对面试和笔试。这段时间，正好发现自己基础知识也比较薄弱，想系统性的复习和整理一下。基于这样一个出发点，最近准备开始一个名为【CV知识点扫盲】的专题文章，帮助自己和更多人复习计算机视觉中的基础知识，也希望能够对正在找工作的同学有帮助。

1、什么是激活函数？

在神经网络中，一个节点的激活函数(Activation Function)定义了该节点在给定的输入变量或输入集合下的输出。wiki中以计算机芯片电路为例，标准的计算机芯片电路可以看作是根据输入得到开（1）或关（0）输出的数字电路激活函数。激活函数主要用于提升神经网络解决非线性问题的能力。激活函数各式各样，各有优缺点，目前常用的有 ReLU、sigmoid、tanh等。

2、为什么需要激活函数？

当不用激活函数时，神经网络的权重和偏差只会进行线性变换。线性方程很简单，但是解决复杂问题的能力有限。没有激活函数的神经网络实质上就是一个线性回归模型。为了方便理解，以一个简单的例子来说明。考虑如下网络

在不用激活函数的情况下，该图可用如下公式表示

$output =w 7( input 1 * w 1+i n p u t 2 * w 2)+w 8(i n p u t 1 * w 3+i n p u t 2 * w 4)+w 9(i n p u t 1 * w 5+i n p u t 2 * w 6)$

实质就是下面的线性方程：

$output =\left[\begin{array}{c}w 1 * w 7+w 3 * w 8+w 5 * w 9 \\ w 2 * w 7+w 4 * w 8+w 6 * w 9\end{array}\right] *\left[\begin{array}{c}\text { input } 1 \\ \text { input } 2\end{array}\right] \Longrightarrow Y=W X$

若在隐藏层引入激活函数 $h(y)=\max (y, 0)$ ，那么原始式子就无法用简单线性方程表示了。

$output =w 7 * \max ( input 1 * w 1+i n p u t 2 * w 2,0)+w B * \max ( input 1 * w 3+i n p u t 2 * w 4,0)+w 9 * \max ( input 1 * w 5+i n p u t 2 * w 6,0)$

3、激活函数的一些特性

非线性(Nonlinear) 当激活函数是非线性的，那么一个两层神经网络也证明是一个通用近似函数通用近似理论。而恒等激活函数则无法满足这一特性，当多层网络的每一层都是恒等激活函数时，该网络实质等同于一个单层网络。

连续可微(Continuously differentiable) 通常情况下，当激活函数连续可微，则可以用基于梯度的优化方法。（也有例外，如ReLU函数虽不是连续可微，使用梯度优化也存在一些问题，如ReLU存在由于梯度过大或学习率过大而导致某个神经元输出小于0，从而使得该神经元输出始终是0，并且无法对与其相连的神经元参数进行更新，相当于该神经元进入了“休眠”状态，但ReLU还是可以使用梯度优化的。）二值阶跃函数在0处不可微，并且在其他地方的导数是零，所以梯度优化方法不适用于该激活函数。

*单调(Monotonic) *当激活函数为单调函数时，单层模型的误差曲面一定是凸面。即对应的误差函数是凸函数，求得的最小值一定是全局最小值。

*一阶导单调(Smooth functions with a monotonic derivative) *通常情况下，这些函数表现更好。

原点近似恒等函数(Approximates identity near the origin) 若激活函数有这一特性，神经网络在随机初始化较小的权重时学习更高效。若激活函数不具备这一特性，初始化权重时必须特别小心。

4、机器学习领域常见的激活函数？

Identity(恒等函数)

描述：一种输入和输出相等的激活函数，比较适合线性问题，如线性回归问题。但不适用于解决非线性问题。

方程式： $f(x)=x$

一阶导： $f^{\prime}(x)=1$

图形：

Binary step(单位阶跃函数)

描述： step与神经元激活的含义最贴近，指当刺激超过阈值时才会激发。但是由于该函数的梯度始终为0，不能作为深度网络的激活函数

方程式： $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { for } x<0 \\ 1 & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$

一阶导： $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { for } x \neq 0 \\ ? & \text { for } x=0\end{array}\right.$

图形：

Sigmoid(S函数又称Logistic逻辑函数)

描述：使用很广的一类激活函数，具有指数函数形状，在物理意义上最接近生物神经元。并且值域在(0,1)之间，可以作为概率表示。该函数也通常用于对输入的归一化，如Sigmoid交叉熵损失函数。Sigmoid激活函数具有梯度消失和饱和的问题，一般来说，sigmoid网络在5层之内就会产生梯度消失现象。

方程式： $f(x)=\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

一阶导： $f^{\prime}(x)=f(x)(1-f(x))$

图形：

TanH(双曲正切函数)

描述： TanH与Sigmoid函数类似，在输入很大或很小时，输出几乎平滑，梯度很小，不利于权重更新，容易出现梯度消失和饱和的问题。不过TanH函数值域在(-1,1)之间，以0为中心反对称，且原点近似恒等，这些点是加分项。一般二分类问题中，隐藏层用tanh函数，输出层用sigmod函数。

方程式： $f(x)=\tanh (x)=\frac{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}$

一阶导： $f^{\prime}(x)=1-f(x)^{2}$

图形：

ArcTan(反正切函数)

描述： ArcTen从图形上看类似TanH函数，只是比TanH平缓，值域更大。从一阶导看出导数趋于零的速度比较慢，因此训练比较快。

方程式： $f(x)=\tan ^{-1}(x)$

一阶导： $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$

图形：

Softsign函数

描述： Softsign从图形上看也类似TanH函数，以0为中心反对称，训练比较快。

方程式： $f(x)=\frac{x}{1+\|x\|}$

一阶导： $f^{\prime}(x)=\frac{1}{(1+\|x\|)^{2}}$

图形：

Rectified linear unit(线性整流函数,ReLU)

描述：比较流行的激活函数，该函数保留了类似step那样的生物学神经元机制，即高于0才激活，不过因在0以下的导数都是0，可能会引起学习缓慢甚至神经元死亡的情况。

方程式： $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { for } x \leq 0 \\ x & \text { for } x>0\end{array}\right.$

一阶导： $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { for } x \leq 0 \\ 1 & \text { for } x>0\end{array}\right.$

图形：

Leaky rectified linear unit(带泄露随机线性整流函数,Leaky ReLU)

描述： relu的一个变化，即在小于0部分不等于0，而是加一个很小的不为零的斜率，减少神经元死亡带来的影响。

方程式： $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0.01 x & \text { for } x<0 \\ x & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$

一阶导： $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0.01 & \text { for } x<0 \\ 1 & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$

图形：

Parameteric rectified linear unit(参数化线性整流函数,PReLU)

描述：也是ReLU的一个变化，与Leaky ReLU类似，只不过PReLU将小于零部分的斜率换成了可变参数α。这种变化使值域会依据α不同而不同。

方程式： $f(\alpha, x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha x & \text { for } x<0 \\ x & \text { for } x \geqslant 0\end{array}\right.$

一阶导： $f^{\prime}(\alpha, x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha & \text { for } x<0 \\ 1 & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$

图形：

Randomized leaky rectified linear unit(带泄露随机线性整流函数,RReLU)

描述：在PReLU基础上将α变成了随机数。

方程式： $f(\alpha, x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha x & \text { for } x<0 \\ x & \text { for } x \geqslant 0\end{array}\right.$

一阶导： $f^{\prime}(\alpha, x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha & \text { for } x<0 \\ 1 & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$

图形：

Exponential linear unit(指数线性函数,ELU)

描述： ELU小于零的部分采用了负指数形式，相较于ReLU权重可以有负值，并且在输入取较小值时具有软饱和的特性，提升了对噪声的鲁棒性

方程式： $f(\alpha, x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha\left(e^{x}-1\right) & \text { for } x \leq 0 \\ x & \text { for } x>0\end{array}\right.$

一阶导： $f^{\prime}(\alpha, x)=\left\{\begin{array}{ll}f(\alpha, x)+\alpha & \text { for } x \leq 0 \\ 1 & \text { for } x>0\end{array}\right.$

图形：

Scaled exponential linear unit(扩展指数线性函数,SELU)

描述： ELU的一种变化，引入超参λ和α，并给出了相应取值，这些取值在原论文中（Self-Normalizing Neural Networks）详细推导过程

方程式： $f(\alpha, x)=\lambda\left\{\begin{array}{ll}\alpha\left(e^{x}-1\right) & \text { for } x<0 \\ x & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$ $with \quad \lambda=1.0507 \quad and \quad \alpha=1.67326$

一阶导： $f^{\prime}(\alpha, x)=\lambda\left\{\begin{array}{ll}\alpha\left(e^{x}\right) & \text { for } x<0 \\ 1 & \text { for } x \geq 0\end{array}\right.$

图形：

S-shaped rectified linear activation unit(S型线性整流激活函数,SReLU)

描述：也是ReLU的一种变化，不同的是该函数有三个分段，四个超参数，这种设置使函数图形看起来像S型。

方程式：

$f_{t_{l}, a_{l}, t_{r}, a_{r}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}t_{l}+a_{l}\left(x-t_{l}\right) & \text { for } x \leq t_{l} \\ x & \text { for } t_{l}<x<t_{r} \\ t_{r}+a_{r}\left(x-t_{r}\right) & \text { for } x \geq t_{r}\end{array}\right.$

一阶导：

$f_{t_{l}, a_{l}, t_{r}, a_{r}}^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}a_{l} & \text { for } x \leq t_{l} \\ 1 & \text { for } t_{l}<x<t_{r} \\ a_{r} & \text { for } x \geq t_{r}\end{array}\right.$

图形：

SoftPlus函数

描述：是ReLU的平滑替代，函数在任何地方连续且值域非零，避免了死神经元。不过因不对称且不以零为中心，可以影响网络学习。由于导数必然小于1，所以也存在梯度消失问题。

方程式：

$f(x)=\ln \left(1+e^{x}\right)$

一阶导：

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

图形：

Bent identity(弯曲恒等函数)

描述：可以理解为identity和ReLU之间的一种折中，不会出现死神经元的问题，不过存在梯度消失和梯度爆炸风险。

方程式：

$f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{2}+x$

一阶导：

$f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}+1$

图形：

Sinusoid(正弦函数)

描述： Sinusoid作为激活函数，为神经网络引入了周期性，且该函数处处联系，以零点对称。

方程式：

$f(x)=\sin (x)$

一阶导：

$f^{\prime}(x)=\cos (x)$

图形：

Sinc函数

描述： Sinc函数在信号处理中尤为重要，因为它表征了矩形函数的傅立叶变换。作为激活函数，它的优势在于处处可微和对称的特性，不过容易产生梯度消失的问题。

方程式：

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { for } x=0 \\ \frac{\sin (x)}{x} & \text { for } x \neq 0\end{array}\right.$

一阶导：

$f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { for } x=0 \\ \frac{\cos (x)}{x}-\frac{\sin (x)}{x^{2}} & \text { for } x \neq 0\end{array}\right.$

图形：

Gaussian(高斯函数)

描述：高斯激活函数不常用。

方程式：

$f(x)=e^{-x^{2}}$

一阶导：

$f^{\prime}(x)=-2 x e^{-x^{2}}$

图形：

ReLU。ReLU的优点是收敛速度快、不会出现梯度消失or爆炸的问题、计算复杂度低。

6、 Bert、GPT、GPT2中用的激活函数是什么？为什么？

Bert、GPT、GPT2、RoBERTa、ALBERT都是用的Gelu。

$\operatorname{GELU}(x)=x P(X \leq x)=x \Phi(x)$

直观理解：x做为神经元的输入，P(X<=x)越大，x就越有可能被保留；否则越小，激活函数输出就趋近于0.

7、如何选择激活函数

用于分类器时，二分类为Sigmoid，多分类为Softmax，这两类一般用于输出层；
对于长序列的问题，隐藏层中尽量避免使用Sigmoid和Tanh，会造成梯度消失的问题；
Relu在Gelu出现之前在大多数情况下比较通用，但也只能在隐层中使用；
现在2022年了，隐藏层中主要的选择肯定优先是Gelu、Swish了。

8、ReLU的优缺点？

优点：

从计算的角度上，Sigmoid和Tanh激活函数均需要计算指数，复杂度高，而ReLU输入一个数值即可得到激活值；
ReLU函数被认为有生物上的解释性，比如单侧抑制、宽兴奋边界（即兴奋程度也可以非常高）人脑中在同一时刻大概只有1 ∼ 4%的神经元处于活跃状态，所以单侧抑制提供了网络的稀疏表达能力，宽激活边界则能有效解决梯度消失等问题。

缺点：