2022-04-20 16:54 江苏海洋大学 Node.js

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【图解数据结构】树和二叉树全面总结

一、前言

学习目标1：掌握树和二叉树的基本概念、五大性质、判断完全二叉树、满二叉树。
学习目标2：记住二叉树的四大遍历、要求写出遍历顺序和相应的递归代码。搞懂二叉树和树的相互转换流程
重点：二叉树的遍历、性质、二叉树和树的相互转换

二、概念及定义

1.树

什么叫树？是下面这个？

图片说明

抽象很到位，但经历过数据结构的人，下面这张图更加到位哦：

图片说明

请理清一下上面这张图的人物关系：

上面这张图只有一个根节点，祖父作为根可以叫做大根堆，而你作为根只能叫做小根堆。向下发散出不同的结点，一个结点下面连着几个线叫做度，而下面没有了结点就称为叶子。

同一层的叫兄弟结点，下一层的叫孩子节点。有几代人就有几个层次，层次最大值叫做这个家族的高度，生的孩子数目最多的叫做这个家族的度。

2.二叉树

二叉树，二叉树字面意思就是一个树只能分两个叉。左面的叉叫做左孩子，右面的叉叫做右孩子。

官方术语：满足每个结点度不大于2，孩子结点次序确定的树。

3.满二叉树

图片说明
满二叉树就是满的，意思是每一层都是最大的结点，不能有空。

4.完全二叉树

结点按照编号从左到右依次构建二叉树，不存在无左孩子、却有右孩子的情况（有就不是）
满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

三、二叉树的性质

俗话说：性质学得好，弯路少走一半！

1.层结点

在二叉树的第i层上最多有2^{i-1}个结点(i>=1)

2.总结点

深度为k的二叉树最多有2^{k}-1个结点(k>=1)

3.深度

图片说明
向下取整，比如4.5向下取整为4

4.结点数

对于任意一棵二叉树，度为0的结点数等于度为2的结点数+1。

5.孩子结点

图片说明

结点为i双亲结点为i/2向下取整，左孩子2* i，右孩子2*i+1

上面的性质我就不推导了，其实就是实在不想写了。

四、二叉树的遍历

1.先序遍历

图片说明
算法讲解

遍历顺序：根结点->左子树->右子树
动态图解：和上面的动态图一样，先序遍历就像一个小人从根结点开始，围绕二叉树的外圈开始跑（遇到缝隙就钻进去），按照跑的顺序，依次输出序列

递归代码

void  PreOrder(BiTree root) 
/*先序遍历二叉树, root为指向二叉树(或某一子树)根结点的指针*/
{
    if (root!=NULL)
    {
        Visit(root ->data);  /*访问根结点*/
        PreOrder(root ->LChild);  /*先序遍历左子树*/
        PreOrder(root ->RChild);  /*先序遍历右子树*/
    }
}

2.中序遍历

图片说明

算法讲解

遍历顺序：左子树->根结点->右子树
动态图解：中序遍历就像投影仪一样，将二叉树从最左侧到最右侧依次投影到同一水平线上面，得到的从左到右的相关序列就是二叉树的中序遍历
递归代码*

void  InOrder(BiTree root)  
/*中序遍历二叉树, root为指向二叉树(或某一子树)根结点的指针*/
{
    if (root!=NULL)
    {
        InOrder(root ->LChild);   /*中序遍历左子树*/
        Visit(root ->data);        /*访问根结点*/
        InOrder(root ->RChild);   /*中序遍历右子树*/
    }
}

3.后序遍历

看后序遍历的动态图图之前，还记不记得先序遍历的动态图？不会忘了吧。

后序遍历就是在先序遍历的基础之上，进行像剪葡萄一样的操作，如下图：

图片说明

算法讲解

遍历顺序：左子树->右子树->根结点
动态图解：后序遍历也是按照先序遍历的顺序输出，不过后序遍历就像剪葡萄，只能一个个剪，不能让超过1个的葡萄一起掉下来，那就错了。例如上图中的B，剪去B后面的D、E、H、I、J都会掉下来（达咩），而H剪去只会掉下H，规律就是这个规律
递归代码*

void  PostOrder(BiTree root)  
/*后序遍历二叉树, root为指向二叉树(或某一子树)根结点的指针*/
{
    if (root!=NULL)
    {
        PostOrder(root ->LChild);   /*后序遍历左子树*/
        PostOrder(root ->RChild);   /*后序遍历右子树*/
        Visit(root ->data);        /*访问根结点*/
     }

4.层次遍历

图片说明

算法讲解 就是一层一层的从左至右输出，算法不要求掌握

拓展

树的先根遍历==二叉树的先序遍历
树的中根遍历==二叉树的后序遍历
树的后根遍历==二叉树的中序遍历

五、遍历算法的简单应用

1.建立二叉链表存储的二叉树

void CreateBiTree(BiTree *bt)
   //按“扩展先序遍历序列”建立二叉树的二叉链表的算法
{
    char ch;
    ch = getchar();
    if(ch==‘.’) *bt=NULL;  // 输入时以点号“. ”表示空结点。
    else 
    {
          *bt=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); //生成一个新结点  
          (*bt)->data=ch;
          CreateBiTree(&((*bt)->LChild)); //生成左子树
          CreateBiTree(&((*bt)->RChild)); //生成右子树
    }
}

2.输出叶子结点

void  PreOrder(BiTree root) 
/*先序遍历二叉树, root为指向二叉树根结点的指针*/
{
    if (root!=NULL)
    {
        if (root ->LChild==NULL && root ->RChild==NULL)
            printf("%c  ",root ->data);  /*输出叶子结点*/
        PreOrder(root ->LChild);  /*先序遍历左子树*/
        PreOrder(root ->RChild);  /*先序遍历右子树*/
    }
}

3.统计二叉树叶子结点数目

/* LeafCount保存叶子结点的数目的全局变量,调用之前初始化值为0 */ 
方法一：
void leaf_a(BiTree root)
{
    if(root!=NULL)
    {
        leaf_a(root->LChild);    
            leaf_a(root->RChild);
        if (root ->LChild==NULL && root ->RChild==NULL)
            LeafCount++;
    }
}

4.求二叉树高度

int PostTreeDepth(BiTree bt)   /* 后序遍历求二叉树的高度递归算法 */
{
    int hl,hr,max;
    if(bt!=NULL)
    {
        hl=PostTreeDepth(bt->LChild);  /* 求左子树的深度 */
        hr=PostTreeDepth(bt->RChild);  /* 求右子树的深度 */
        max=hl>hr?hl:hr;              /* 得到左、右子树深度较大者*/
        return(max+1);               /* 返回树的深度 */
    }
    else return(0);             /* 如果是空树，则返回0 */
}

5.按树状打印二叉树

void PrintTree(BiTree bt,int nLayer)  /* 按竖向树状打印的二叉树 */
{
    if(bt == NULL) return;
    PrintTree(bt->RChild,nLayer+1);
    for(int i=0;i<nLayer;i++)
        printf("  ");
    printf("%c\n",bt->data);
    PrintTree(bt->LChild,nLayer+1);
}

六、线索二叉树

1.基本概念

前驱和后继：在二叉树先序、中序、后序、层次遍历之后得到的序列，前一个是前驱，后一个是后继。就像排队一样，排在我前面的叫做我的前驱，排在我后面的叫做后继。思考一下：什么时候是没有前驱和后继的？
线索：指向前驱或后继结点的一个指针
线索化：对二叉树进行某种遍历，使之变成线索二叉树的一个过程
线索二叉树：加上线索的一个二叉链表

2.基本结构

孩子指针域：LChild指向左孩子，RChild指向右孩子
标志域Ltag：Ltag==1,表示LChild指向左孩子，Ltag==0则表示LChild指向前驱
标志域Rtag：Rtag==1,表示RChild指向左孩子，Rtag==0则表示RChild指向前驱
选择题表示结点p为叶子结点的是：p->Ltag==1&&p->Rtag==1

3.结构体

typedef  struct node
{    int  data;
     int ltag, rtag;
     struct node *lchild, *rchild;
}JD;

4.建立中序线索化二叉树

动态图：

图片说明
这个动态演示图有点长，其实只要看懂前面两个建立的过程之后，后面的也自然而然理解了。不要求熟练掌握，但要对这个过程要熟悉一下。

算法讲解：

LTag=0, LChild指向根结点
RTag=1, RChild指向遍历序列中最后一个结点（这个性质常常用来考填空题，要牢记啊！）
遍历序列中第一个结点的LChild域和最后一个结点的RChild域都指向根结点

代码：

void  Inthread(BiTree root)
/* 对root所指的二叉树进行中序线索化，其中pre始终指向刚访问过的结点，其初值为NULL*/
{
    if (root!=NULL)
    { 
        Inthread(root->LChild);  /* 线索化左子树 */
        if (root->LChild==NULL)
        {
            root->Ltag=1; 
            root->LChild=pre;  /*置前驱线索 */
        }
        if (pre!=NULL&& pre->RChild==NULL)  /* 置后继线索 */
        {
            pre->RChild=root;
            pre->Rtag=1;
        }
            pre=root;
           Inthread(root->RChild);  /*线索化右子树*/
    }
}