阿里巴巴笔试题集第23题及分析（转）
方法： 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。
这是一个求数学期望的问题，最终是求 1 ， 2 ， 3 出现至少一次的最短长度的期望。
这样分叉树的每个节点是一个期望状态，而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现 1 、 2 、 3 各至少一次的情形记作 L 123 （即题目所求），将后续期望出现 1 、 2 各至少一次（ 3 无关）情形记作 L 12 ，而 1 至少一次（ 2 ， 3 无关）情形 L 1 ，其余数值符号类推，则树结构如下（列出 4 级结构已经足够）：
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第一级（树根） |
第二级 |
第三级 |
第四级别 |
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L 123 |
掷 1->L 23 |
掷 1->L 23 |
同状态 |
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掷 2->L 3 |
根据投掷结果，或继续期待 L 3 ，或已经达到目标 |
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掷 3->L 2 |
根据投掷结果，或继续期待 L 2 ，或已经达到目标 |
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掷 2->L 13 |
掷 1->L 3 |
根据投掷结果，或继续期待 L 3 ，或已经达到目标 |
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掷 2->L 13 |
同状态 |
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掷 3->L 1 |
根据投掷结果，或继续期待 L 1 ，或已经达到目标 |
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掷 3->L 12 |
掷 1->L 2 |
根据投掷结果，或继续期待 L 2 ，或已经达到目标 |
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掷 2->L 1 |
根据投掷结果，或继续期待 L 1 ，或已经达到目标 |
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掷 3->L 12 |
同状态 |
接下来，就是要排出方程，因为一共 7 个未知数，如果排出 7 个线性方程就能解决问题。
这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。
根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：
L 123 = p 1 (L 23 + 1) + p 2 (L 13 +1) + p 3 (L 12 + 1) = p 1 L 23 + p 2 L 13 + p 3 L 12 + 1
（以这个 L 123 为例，解释，投掷 1 的概率是 p 1 而由此得到的结果是需要期待后续 2 和 3 各至少出现一次，于是长度期望是 L 23 + 1 ，加 1 是因为投掷了一次，亦即即增进一级）
L 23 = p 1 L 23 + p 2 L 3 + p 3 L 2 + 1
L 13 = p 1 L 3 + p 2 L 13 + p 3 L 1 + 1
L 12 = p 1 L 2 + p 2 L 1 + p 3 L 12 + 1
L 1 = p 1 + p 2 L 1 + p 3 L 1 + 1
（这里实际上是 L 1 =p 1 ·1 + p 2 (L 1 + 1) + p 3 (L 1 + 1) = p 2 L 1 + p 3 L 1 + 1 ，因为对 L 1 情形，如果投了 1 就目的达到终止了）
L 2 = p 2 + p 1 L 2 + p 3 L 2 + 1
L 3 = p 3 + p 1 L 3 + p 2 L 3 + 1
（以上一开始没注意，多加了悬空的概率项，故计算有误）
其中 p 1 ， p 2 和 p 3 分别是掷出 1 ， 2 和 3 的概率，即 1/6 ， 1/3 ， 1/2 。
于是求解这个方程，得到：
L 1 = 6 ， L 2 = 3 ， L 3 = 2
L 12 = 7 ， L 13 = 13/2 ， L 23 = 19/5 6
L 123 = 219/30 = 7.3 259/36 ~= 7.14
故以上如果没有计算错误，该题结果是，平均掷 7.3 约 7.14 次可出现这些面值各至少一次。
【另一解法】感谢 4 楼 aaaxingruiaaa 同学提供的答案（指示器变量法），整理如下：
定义随机变量 X n ，其可能值为 0 或 1 ，其值为 1 表示 “ 前 n 次掷骰子， 1 ， 2 ， 3 没能都至少出现一次 ” 的事件，其值为 0 表示这个事件没有发生，即 “ 前 n 次掷骰子， 1 ， 2 ， 3 各至少出现一次 ” 。
令 p n 为 “ 掷 n 次骰子， 1 ， 2 ， 3 没能都至少出现一次 ” 的概率，所以显然 p n = Pr{ X n =1} ，于是 p n = 1·Pr{ X n =1} + 0·Pr{ X n =1} = E[ X n ] ，即这个随机变量的数学期望。
令随机变量 X 表示 1 ， 2 ， 3 刚好全部出现过需要的投掷次数。可见题目要求的就是 E[X] 。
关键等式： X = Sigma (n=0 to Inf; X n ) （这里 Sigma 是求和号，求和范围是 n 从 0 到无穷大）
说明一下，等式两边都是随机变量，假设对于某个随机实例（例如，这里指一次具体的投掷序列），其对应事件是： “ 投了 K 次恰好 1 ， 2 ， 3 都出现了 ” ，于是等式左边显然等于 K ；而等式右边，对于 n < K ，由于这些项的对应定义事件发生了（即 1 ， 2 ， 3 没能出现），所以他们的实例值是 1 ，而对于 n⩾K ，则由于对应定义事件都没发生，实例值为 0 ，可见这个和也是 K 。故两侧相等。（为了达到这个相等关系，可以看出需要把 X 0 包含在内的必要性）
值得注意的是（但对于解这道题也可以不去注意，但注意一下有利于比较深入地理解），对 n < 3 ， X n 显然恒为 1 。而对于 n⩾3 ，这些随机变量不是独立的。他们的相关性是不容易求出的，唯一容易知道的是，当序列中一个项为 0 时，其后的项均为 0 。好在对于这题我们不需要担忧这个相关性。
由于数学期望的加性与随机变量的相关性无关（这是数学期望一个很令人高兴的性质），所以即便这样， E[X] 也能容易求出：
E[X] = Sigma (n=0 to Inf; E[ X n ] ) = Sigma (n=0 to Inf; p n )
p n 的比较直观的求法也由 aaaxingruiaaa 同学 提供了，即所谓容斥原理。稍微解释一下，由于 p n 考虑的是 n 次投掷三者没有全部出现，于是就是其中两者出现或仅一者出现。假设单次投掷 1 ， 2 和 3 出现的概率分别为： r 1 ， r 2 和 r 3 。于是 ( r 1 + r 2 ) n 表征 n 次投掷只出现 1 或 2 的概率，这其中包括了出现全 1 和全 2 的情形，于是求 p n 可由这样的项求和并剔除重复计算的单面值情形，于是：
p n = ( r 1 + r 2 ) n + ( r 1 + r 3 ) n + ( r 2 + r 3 ) n - r 1 n - r 2 n - r 3 n ，当 n > 0 ； 而 p 0 = 1 （由定义；同时也可以检验看出，这个 p n 在 n 为 1 和 2 的时候都是 1 ）
于是由等比级数（等比数列求和）公式：
E[X] = 1 + Sigma (n=1 to Inf; ( r 1 + r 2 ) n + ( r 1 + r 3 ) n + ( r 2 + r 3 ) n - r 1 n - r 2 n - r 3 n = 1 + (1 - r 3 ) / r 3 + (1 - r 2 ) / r 2 + (1 - r 1 ) / r 1 - r 1 / (1 - r 1 ) - r 2 / (1 - r 2 ) - r 3 / (1 - r 3 ) = 7.3
【程序仿真】
- static void Main( string [] args)
- {
- Random rand = new Random();
- int [] diceSurfaces = new int [6] { 1, 2, 2, 3, 3, 3 }; // 6个面
- int nRounds = 10000000; // 投掷轮数
- long totalTimes = 0; // 所有轮中投掷数加起来的总投掷次数
- for ( int iRounds = 0; iRounds < nRounds; iRounds++)
- {
- bool [] occurred = new bool [3] { false , false , false }; // 各面值出现标记
- int sumPicked = 0; // 出现不同面值个数
- int times = 0;
- for (; ; )
- {
- int iSurface = rand.Next(6);
- int value = diceSurfaces[iSurface] - 1;
- times++;
- if (!occurred[value])
- { // 出现新面值
- occurred[value] = true ;
- sumPicked++;
- if (sumPicked == occurred.Length)
- { // 全部出现，结束此轮
- break ;
- }
- }
- }
- totalTimes += times;
- }
- Console.WriteLine("average number of times = {0}" , (( double )totalTimes) / nRounds);
- }
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