题解 | #连续子数组的最大和#

题目主要信息：

• 输入一个长度为n的整型数组array，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，找到一个具有最大和的连续子数组的和
• 不存在空数组，

举一反三：

本题是动态规划入门级别的题目，重点在于理解动态规划的最优子结构和递推方程的构建，对其他复杂的动态规划题目具有启蒙意义。

方法一：动态规划(推荐使用)

知识点：动态规划

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。

思路：

因为数组中有正有负有0，因此每次遇到一个数，要不要将其加入我们所求的连续子数组里面，是个问题，有可能加入了会更大，有可能加入了会更小，而且我们要求连续的最大值，因此这类有状态转移的问题可以考虑动态规划。

具体做法：

• step 1：可以用dp数组表示以下标$ii$为终点的最大连续子数组和。
• step 2：遍历数组，每次遇到一个新的数组元素，连续的子数组要么加上变得更大，要么这个元素本身就更大，要么会更小，更小我们就舍弃，因此状态转移为$dp[i]=max(dp[i-1]+array[i],array[i])dp[i]\; =\; max(dp[i\; -\; 1]\; +\; array[i],\; array[i])$。
• step 3：因为连续数组可能会断掉，每一段只能得到该段最大值，因此我们需要维护一个最大值。

图示：

Java实现代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        //记录到下标i为止的最大连续子数组和
        int[] dp = new int[array.length]; 
        dp[0] = array[0];
        int maxsum = dp[0];
        for(int i = 1; i < array.length; i++){
            //状态转移：连续子数组和最大值
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + array[i], array[i]); 
            //维护最大值
            maxsum = Math.max(maxsum, dp[i]); 
        }
        return maxsum;
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        //记录到下标i为止的最大连续子数组和
        vector<int> dp(array.size(), 0); 
        dp[0] = array[0];
        int maxsum = dp[0];
        for(int i = 1; i < array.size(); i++){
            //状态转移：连续子数组和最大值
            dp[i] = max(dp[i - 1] + array[i], array[i]); 
            //维护最大值
            maxsum = max(maxsum, dp[i]); 
        }
        return maxsum;
    }
};

Python代码实现：

class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self , array: List[int]) -> int:
        #记录到下标i为止的最大连续子数组和
        dp = [0 for i in range(len(array))] 
        dp[0] = array[0]
        maxsum = dp[0]
        for i in range(1, len(array)):
            #状态转移：连续子数组和最大值
            dp[i] = max(dp[i - 1] + array[i], array[i]) 
            #维护最大值
            maxsum = max(maxsum, dp[i]) 
        return maxsum

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)O(n)$，其中$nn$为数组长度，遍历一次数组
• 空间复杂度：$O(n)O(n)$，动态规划辅助数组长度为$nn$

方法二：动态规划空间优化（扩展思路）

知识点：动态规划

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果

思路：

我们注意到方法一的动态规划在状态转移的时候只用到了$i-1i-1$的信息，没有使用整个辅助数组的信息，因此可以将数组优化掉。

具体做法：

• step 1：我们可以使用两个变量迭代来代替数组。
• step 2：状态转移的时候更新变量y，该轮循环结束的再更新x为y即可做到每次迭代都是上一轮的dp。
• step 3：遍历数组，每次只要比较取最大值即可。

Java实现代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        int x = array[0];
        int y = 0;
        int maxsum = x;
        for(int i = 1; i < array.length; i++){
            //状态转移：连续子数组和最大值
            y = Math.max(x + array[i], array[i]); 
            //维护最大值
            maxsum = Math.max(maxsum, y); 
            //更新x的状态
            x = y; 
        }
        return maxsum;
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        int x = array[0];
        int y = 0;
        int maxsum = x;
        for(int i = 1; i < array.size(); i++){
            //状态转移：连续子数组和最大值
            y = max(x + array[i], array[i]); 
            //维护最大值
            maxsum = max(maxsum, y); 
            //更新x的状态
            x = y; 
        }
        return maxsum;
    }
};

Python代码实现：

class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self , array: List[int]) -> int:
        x = array[0]
        y = 0
        maxsum = x
        for i in range(1, len(array)):
            #状态转移：连续子数组和最大值
            y = max(x + array[i], array[i]) 
            #维护最大值
            maxsum = max(maxsum, y) 
            #更新x的状态
            x = y 
        return maxsum

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)O(n)$，其中$nn$为数组长度，遍历一次数组
• 空间复杂度：$O(1)O(1)$，常数级变量，无额外辅助空间