题解 | #<比较详细了吧>求平方根#

思路1：二分法。

初始low=1, high的初始化有讲究：

若x大于4，high初始化为x/2; 若x<=4，high初始化为x. 至少这样可加速查找过程。（证明很简单，见下图）

• 若mid*mid <= x,接着判断

•  (1)若(mid+1)^2>x,则返回mid;
  

•  (2)否则在右半区间查找，low=mid+1;
  

• 若mid*mid > x,在右半区间查找,high=mid-1;
• 另外需要注意运算避免溢出

复杂度

空间复杂度 O(1)，时间复杂度 O(logx)

代码（JAVA）

public class Solution {
	public int sqrt (int x) {//二分法
        if(x==0||x==1) return x;//题中告诉我们x的范围： 0 <= x < 2^31-1
        int low=1,high=x;
        if(x>4) high=high>>1;//x大于4时，根号x小于x/2
        int mid=0;
        while(low<=high) {
        	mid=low+((high-low)>>1);//注意，加法运算符优先级比移位运算符优先级高，移位运算符外面需要加括号
        	if(mid<=x/mid) {
        		if(mid+1>x/(mid+1)) return mid;
        		else low=mid+1;
        		}
        	else high=mid-1;
        	}
        return 0;
    }
}

思路2：牛顿迭代法（Newton-Raphson method）。

这里先引用一些介绍，不熟悉牛顿迭代公式的小伙伴可以看一下，熟悉的可跳过。

产生背景：

牛顿迭代公式：

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。 对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

对应此题，我给大家做了推导过程，迭代公式由泰勒展开前两项得到，不难得到。

需要特别关注最后的推导结果

代码（JAVA）

public class Solution {
	public int sqrt (int x) {//牛顿迭代法
        if(x==0||x==1) return x;//题中告诉我们x的范围： 0 <= x < 2^31-1
		long X0=x;//使用int进行加法运算可能溢出，所以采用long型
		long X1=0;//下一个迭代变量，为了方便理解，也可只使用X0
		while(X0>x/X0) {//X0^2>x循环
			X1=(X0+x/X0)>>1;//由迭代公式得，采用右移1位操作代替除以2，运算更快
			X0=X1;//把下一个迭代变量赋给X0,统一操作，方便继续处理
		}
		return (int)X0;//返回值类型为int,因此需要做强制类型转换
    }
}

：最后相信大家把这道题拿捏到手了吧