Chap 10 环与理想 - 环

• 10.1 环

  • • 10.1.1 基本定义

      • 定义 10.1.1 环 交换环 单位元环
      • 定理 10.1.1 环R中元素的运算性质
      • 定理 10.1.2 （有单位元的环）

    • 10.1.2 零因子环

      • 定义 10.1.4 （左/右）零因子 有零因子环
      • 定义 10.1.5 （左/右）逆元 【左/右】逆

    • 10.1.3 整环及域

      • 定义 10.1.4 整环 （有单位元但没有零因子的交换环）
      • 性质 10.1.1 （整环有消去律成立）
      • 定义 10.1.5 域（有单位元且每个非零元都是可逆元的交换环）

    • 10.1.4 交换环上的整除

      • 定义 10.1.6 整除 因子 倍元 真因子 不可约元 素元 相伴的

  • 10.2 同态

    • • 定义 10.2.1 环同态 单同态 满同态 同构
      • 定义 10.2.2 同构

  • 10.3 特征及素域

    • • 定义 10.3.1 特征
      • 定理 10.3.1
      • 定理 10.3.2
      • 定理 10.3.3
      • 定义 10.3.2 子环 子域
      • 定义 10.3.3 素域
      • 定理 10.3.4

  • 10.4 分式域

    • • 定理 10.4.1 域的构造方式
      • 定理 10.4.2
      • 分式域
      • 例 10.4.1 有理数域
      • 例 10.4.2 p-元域
      • 例 10.4.3 多项式分式域

  • 10.7 习题（上）

    • 1 群

    • 5 幂零

    • 6 整环

      • 例 10.1.6

    • 11 非交换环

10.1 环

10.1.1 基本定义

定义 10.1.1 环 交换环 单位元环

环

交换环

单位元环

定理 10.1.1 环R中元素的运算性质

证明

定理 10.1.2 （有单位元的环）

证明

10.1.2 零因子环

定义 10.1.4 （左/右）零因子 有零因子环

定义 10.1.5 （左/右）逆元 【左/右】逆

10.1.3 整环及域

定义 10.1.4 整环 （有单位元但没有零因子的交换环）

性质 10.1.1 （整环有消去律成立）

证明

定义 10.1.5 域（有单位元且每个非零元都是可逆元的交换环）

10.1.4 交换环上的整除

最后,希望整数环的整除性也可以应用到环上。

定义 10.1.6 整除 因子 倍元 真因子 不可约元 素元 相伴的

10.2 同态

本节讨论两个环之间的关系。

定义 10.2.1 环同态 单同态 满同态 同构

定义 10.2.2 同构

10.3 特征及素域

本节给出最小的域的表述。

先给出特征的表述。

定义 10.3.1 特征

定理 10.3.1

证明

定理 10.3.2

证明

定理 10.3.3

证明

定义 10.3.2 子环 子域

定义 10.3.3 素域

定理 10.3.4

10.4 分式域

从整数集Z构造出分式域有理数集Q是经典和重要的方法,运用该方法从整环构造出对应的分式域。

域的构造方式之一如下。

定理 10.4.1 域的构造方式

证明

定理 10.4.2

证明

分式域

例 10.4.1 有理数域

例 10.4.2 p-元域

例 10.4.3 多项式分式域

10.7 习题（上）

1 群

5 幂零

6 整环

例 10.1.6

Solution

11 非交换环