CF1514C Product 1 Modulo N

知识点：GCD、同余

题目链接

题意

输出1~n-1组成的序列中最长子序列使得元素乘积模n为1

思路

出现模、n与比n小的数关联、因子等特征，可考虑gcd。

假设最长子序列为a，即$(\prod a_i)\%n=1$，若再加入一个数c得$(\prod a_i)\times c\%n=(\prod a_i)\%n\times c\%n=c$，可知模不为1的子序列去掉该模后可以得到模为1的子序列。
对原序列而言，如果原序列乘积模n大于1，则去掉序列中该模即为最长子序列。
我第一次尝试考虑存在模n为0的情况。说明乘积包含因子n，但因子n可以分解为最小因子，分布到不同元素中(比如n=6时，2和3分布到2、3和4中)，情况很多。
实际上模为1是特殊的情况，说明乘积和n互质，即乘积和n没有共同因子。如果存在共同因子，即$(gcd\times prod)\%(gcd\times c)$可转换为求$(gcd\times prod)-k\times (gcd\times c)$的最小非负解，移项发现$gcd\times (prod-k\times c)$，无论k取何值，模只能为gcd的倍数，而gcd>1，所以不可能为1。更有根据gcd的定义，$gcd(prod,n)\ne 1$就是$gcd(prod\%n,n)\ne 1$，gcd不为1那么$prod\%n$更不可能为1。
易得$gcd(prod,n)=1$则$gcd(a_i,n)=1(prod=\prod a_i)$，那么除去所有与n不互质的元素再除去模对应的元素即为所求序列。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll n;

void solve()
{
   
	scanf("%lld",&n);
	ll fact=1;
	set<ll> st;
	for(ll i=1;i<n;i++)
	{
   
		if(__gcd(n,i)!=1) continue;//直接跳过与n不互质的元素相当于除去
		fact=fact*i%n;//同时计算除去不互质数后的模
		st.insert(i);//也可以用线性结构
	}
	if(st.count(fact)) st.erase(fact);//除去模对应的元素
	st.insert(1);//和1的gcd一定是1，上面就被跳过了，或者上面模
	//已经为1，把1除去了。这里再加回来
	printf("%lld\n",st.size());
	for(auto v:st)
		printf("%lld ",v);
	puts("");
}

int main()
{
   
// ll t;
// scanf("%lld",&t);
// while(t--)
		solve();
	return 0;
}