<span>Java数据结构与算法 day12 图</span>
文章目录
第12章 图
本章源码：https://github.com/name365/Java-Data-structure
图的基本介绍和存储形式
图基本介绍
为什么要有图??? 前面我们学了线性表和树,线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系,树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时,这里我们就用到了图。
图的举例说明
- 图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
l图的常用概念：
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径：比如从 D -> C 的路径有
- D->B->C
- D->A->B->C
- 无向图(上图)：顶点之间的连接没有方向，比如A-B,即可以是 A-> B 也可以 B->A .
- 有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是 A-> B 不能是 B->A .
- 带权图：这种边带权值的图也叫网.
图的表示方式
- 图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。
邻接表:
1.邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失. 2.邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
说明:
1.标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
2.标号为1的结点的相关联结点为0 4，
3.标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
4.....
图的创建图解和代码实现
要求: 代码实现如下图结构.
思路分析
(1) 存储顶点String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges
代码实现如下：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
private int numofEdges; // 表示边的数目
public static void main(String[] args) {
// 测试图的创建
int n = 5; // 结点的个数
String Ver[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : Ver) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
//显示邻接矩阵
graph.showGraph();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
str = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numofEdges = 0;
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午6:37:03 * @param v1 * 表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示 */
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
str[v1][v2] = weight;
str[v2][v1] = weight;
numofEdges++;
}
// 图中常用的方法
// 返回结点的个数
public int getNumber() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的个数
public int getNumEdg() {
return numofEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return str[v1][v2];
}
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : str) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
}
图的深度优先(DFS)算法图解与实现
图遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1) (2)
-
深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。 1.深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。 2.我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。 3.显然，深度优先搜索是一个递归的过程。
深度优先遍历算法步骤: 1.访问初始结点v，并标记结点v为已访问。 2.查找结点v的第一个邻接结点w。 3.若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。 4.若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。 5.查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。看一个具体案例分析:
要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历。
A B C D E
A 0 1 1 0 0
B 1 0 1 1 1
C 1 1 0 0 0
D 0 1 0 0 0
E 0 1 0 0 0
//说明
//(1) 1 表示能够直接连接
//(2) 0 表示不能直接连接
代码实现如下:
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
private int numofEdges; // 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isNut;
public static void main(String[] args) {
// 测试图的创建
int n = 5; // 结点的个数
String Ver[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : Ver) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
// 显示邻接矩阵
graph.showGraph();
//测试dfs
System.out.println("深度遍历:");
graph.dfs(); //A->B->C->D->E->
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
str = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numofEdges = 0;
isNut = new boolean[5];
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午6:37:03 * @param v1 * 表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示 */
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
str[v1][v2] = weight;
str[v2][v1] = weight;
numofEdges++;
}
// 图中常用的方法
// 返回结点的个数
public int getNumber() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的个数
public int getNumEdg() {
return numofEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return str[v1][v2];
}
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : str) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到第一个邻接结点的下标 w
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午8:03:22 * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */
public int getFirstNeigh(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (str[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeigh(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (str[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先算法
public void dfs(boolean[] isNut, int i) {
// 首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将结点设置为已经访问
isNut[i] = true;
// 查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeigh(i);
while (w != -1) {// 说明找到了
if (!isNut[w]) {
dfs(isNut, w);
}
// 如果w结点已经被访问过
w = getNextNeigh(i, w);
}
}
//对DFS进行重载,遍历所有的结点,并进行DFS
public void dfs() {
isNut = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isNut[i]) {
dfs(isNut, i);
}
}
}
}
图的广度优先(BFS)算法图解
广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤:
1.访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.结点v入队列
3.当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4.出队列，取得队头结点u。
5.查找结点u的第一个邻接结点w。
6.若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。
A B C D E
A 0 1 1 0 0
B 1 0 1 1 1
C 1 1 0 0 0
D 0 1 0 0 0
E 0 1 0 0 0
//说明
//(1) 1 表示能够直接连接
//(2) 0 表示不能直接连接
代码实现如下:
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
private int numofEdges; // 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isNut;
public static void main(String[] args) {
// 测试图的创建
int n = 5; // 结点的个数
String Ver[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : Ver) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
// 显示邻接矩阵
graph.showGraph();
//测试bfs
System.out.println("广度遍历:");
graph.bfs(); //A=>B=>C=>D=>E=>
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
str = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numofEdges = 0;
isNut = new boolean[5];
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午6:37:03 * @param v1 * 表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示 */
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
str[v1][v2] = weight;
str[v2][v1] = weight;
numofEdges++;
}
// 图中常用的方法
// 返回结点的个数
public int getNumber() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的个数
public int getNumEdg() {
return numofEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return str[v1][v2];
}
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : str) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到第一个邻接结点的下标 w
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午8:03:22 * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */
public int getFirstNeigh(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (str[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeigh(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (str[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 广度优先算法
public void bfs(boolean[] isNut, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列,记录结点访问的顺序
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
// 访问结点,输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 标记为已访问
isNut[i] = true;
// 将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeigh(u);
while(w != -1) {//找到了
// 是否访问过
if(!isNut[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isNut[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱点,找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeigh(u, w); // 体现广度优先
}
}
}
//对BFS进行重载,遍历所有的结点,并进行BFS
public void bfs() {
isNut = new boolean[vertexList.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isNut[i]) {
bfs(isNut, i);
}
}
}
}
图的DFS和BFS比较
graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1); 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
代码实现如下:
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
private int[][] str; // 存储图对应的邻接矩阵
private int numofEdges; // 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isNut;
public static void main(String[] args) {
// 测试图的创建
int n = 8; // 结点的个数
String Ver[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : Ver) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// 添加边
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.showGraph();
// 测试dfs
System.out.println("深度遍历:");
graph.dfs(); // 1->2->4->8->5->3->6->7->
// 测试bfs
System.out.println("广度遍历:");
graph.bfs(); // 1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
str = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numofEdges = 0;
isNut = new boolean[5];
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午6:37:03 * @param v1 * 表示点的下标即第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示 */
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
str[v1][v2] = weight;
str[v2][v1] = weight;
numofEdges++;
}
// 图中常用的方法
// 返回结点的个数
public int getNumber() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的个数
public int getNumEdg() {
return numofEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的值 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return str[v1][v2];
}
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : str) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到第一个邻接结点的下标 w
/** * * @Description * @author subei * @date 2020年6月14日下午8:03:22 * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */
public int getFirstNeigh(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (str[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeigh(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (str[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先算法
public void dfs(boolean[] isNut, int i) {
// 首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将结点设置为已经访问
isNut[i] = true;
// 查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeigh(i);
while (w != -1) {// 说明找到了
if (!isNut[w]) {
dfs(isNut, w);
}
// 如果w结点已经被访问过
w = getNextNeigh(i, w);
}
}
// 对DFS进行重载,遍历所有的结点,并进行DFS
public void dfs() {
isNut = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isNut[i]) {
dfs(isNut, i);
}
}
}
// 广度优先算法
public void bfs(boolean[] isNut, int i) {
int u; // 表示队列的头结点对应下标
int w; // 邻接结点w
// 队列,记录结点访问的顺序
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
// 访问结点,输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 标记为已访问
isNut[i] = true;
// 将结点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头结点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeigh(u);
while (w != -1) {// 找到了
// 是否访问过
if (!isNut[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isNut[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱点,找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeigh(u, w); // 体现广度优先
}
}
}
// 对BFS进行重载,遍历所有的结点,并进行BFS
public void bfs() {
isNut = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isNut[i]) {
bfs(isNut, i);
}
}
}
}
