2018.9.7南海中学测试T1（等比数列二分求和）

A病毒分裂
Time Limit:10000MS Memory Limit:165536K
Case Time Limit:1000MS
Description
A 学校的实验室新研制出了一种十分厉害的病毒。由于这种病毒太难以人工制造了，所以专家们在一开始只做出了一个这样的病毒。
这个病毒被植入了特殊的微型芯片，使其可以具有一些可编程的特殊性能。最重要的一个性能就是，专家们可以自行设定病毒的分裂能力K，假如现在有x 个病毒，下一个分裂周期将会有Kx 个一模一样的病毒。你作为该实验室的数据分析员，需要统计出在分裂到第N 个周期前，一共有多少个病毒单体进行了分裂。一开始时总是只有一个病毒，这个局面算作第一个周期。由于答案可能很大，专家们只需要你告诉他们对给定的P 取模后的答案。
Input
一行三个整数，依次是K, N, P。
Output
一行一个整数，你的答案（对P 取模）。
Sample Input
【样例输入1】
5 3 7
【样例输入2】
2 6 23
Sample Output
【样例输出1】
6
【样例输出2】
8

这道题目，模拟一下就会发现，就是等比数列求和。首先想到要用的东西就是快速幂，毕竟可以使用快速幂来暴力。

所以一开始我先打了一个O(n)的暴力算法：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
long long k,n,p,d=1,and_;
void read();
int main()
{
    read();
    for(long long i=1;i<n;i++)
    {
        and_+=d;
        and_%=p;
        d*=k;
        d%=p;
    }
    if(and_==0)
      and_=1;
    printf("%lld",and_%p);
    return 0;
}
void read()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld",&k,&n,&p);
    return ;
}

然后，不知不觉，就AC了！
数据特别水，所以就AC了。然后很多人说要用逆元，他们做错了，所以就特别不爽我们这些用O（n）拿满分的人；
然后，我们可敬的cmb指导老师就说出了好多句金句：
“呵呵，noip多次证明水分的重要性”
“事实证明不屑水分的人都被分数所不屑”
“所以，认真贯彻比赛纪律，水分对拍正解。”

所以听从老师的指导，以后我都水分出来先hhhh。

然而一直水分也不是好的，现在就讲讲这道题目的正解吧。

这道题用了一个很厉害的一个公式： 等比数列二分求和

当n==0时，S=1；

当n%2==0时，也就是n为偶数时：

当n%2==1时，也就是n为奇数时：

其实，仔细认真推一下，是可以推出来的，贴上我的代码：

long long solve(long long k,long long n)
{
    if(n==1)return k%p;
    int t=solve(k,n/2);
    if(n&1)
    {
        long long t1=doit(k,n/2),t2=doit(k,n);
        t=(t+t1*t%p+t2)%p;
    }
    else
    {
        long long t1=doit(k,n/2);
        t=(t+t1*t%p)%p;
    }
    return t%p;
}

然后就是这道题目，只要仔细认真读好题目，知道求的是什么，那么稍作修改，就可以AC了。

贴上代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
long long k,n,p,d,S;
void read();
long long doit(long long k,long long n) {
    if(n==1)  return k%p;
    long long t=doit(k,n/2);
    long long ans=t*t%p;
    if(n%2==1)  ans=ans*k%p;
    return ans;
}
long long solve(long long k,long long n)
{
    if(n==1)return k%p;
    int t=solve(k,n/2);
    if(n&1)
    {
        long long t1=doit(k,n/2),t2=doit(k,n);
        t=(t+t1*t%p+t2)%p;
    }
    else
    {
        long long t1=doit(k,n/2);
        t=(t+t1*t%p)%p;
    }
    return t%p;
}
int main()
{
    read();
    S=solve(k,n-2)+1;
    printf("%I64d",S%p);
    return 0;
}
void read()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&k,&n,&p);
    return ;
}