剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入描述:

输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）

输出描述:

输出答案。

示例1

输入

8

输出

18

贪心算法

n<2时，返回0；n=2时，返回1；n=3时，返回2
根据数学计算，当n>=5时，2(n-2)>n，3(n-3)>n，这就是说，将绳子剪成2和(n-2)或者剪成3和(n-3)时，乘积大于不剪的乘积，因此需要把绳子剪成2或者3。并且3(n-3)>=2(n-2)，也就是说，当n>=5时，应该剪尽量多的3，可以使最后的乘积最大。对于长度是n的绳子，我们可以剪出n/3个3，剩余长度是1或者2，如果余数是1，就可以把1和最后一个3合并成4，那么4剪出两个2得到的乘积是4，比1*3大，因此这种情况下，需要将3的个数减少1，变成两个2；如果余数是2，那么无需做修改。
可以得到最大的乘积是：3^timesOf3 * 2^timesOf2；
 

public int cutRope(int length) {
        if(length < 2)
        {
            return 0;
        }
        if(length == 2)
        {
            return 1;
        }
        if(length == 3)
        {
            return 2;
        }
        // 尽可能多地减去长度为3的绳子段
        int timesOf3 = length / 3;

        // 当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段。
        // 此时更好的方法是把绳子剪成长度为2的两段，因为2*2 > 3*1。
        if(length - timesOf3 * 3 == 1)
        {
            timesOf3 -= 1;
        }
        int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;

        return (int) (pow(3, timesOf3)) * (int) (pow(2, timesOf2));
    }

动态规划

此问题明显包含独立的子问题，用f(n)表示长度为n的绳子剪完后的最大乘积，则可以写出递推公式

f(n) = max{f(n-i) × f(i)}, 0 < i < n

因为自下而上的时间复杂度为O(n), 每次递推时要对i循环O(n) ，所以时间复杂度是O(n2) 

我们对长度为8的绳子进行模拟。

f(4) = f(2) * f(2) = 4;

f(5) = f(2) * f(3) = 6;

f(6) = f(3) * f(3) = 9;

f(7) = f(3) * f(4) = f(2) * f(5) = 12;

f(8) = f(3) * f(5) = 18;

public int cutRope(int length) {
        if(length < 2) {
            return 0;
        }
        if(length == 2) {
            return 1;
        }
        if(length == 3) {
            return 2;
        }
        int[] products = new int[length + 1];
        products[0] = 0;
        products[1] = 1;
        products[2] = 2;
        products[3] = 3;
        
        int max = 0;
        for(int i = 4; i <= length; ++i) {
            max = 0;
            for(int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
                int product = products[j] * products[i - j];
                if(max < product) {
                    max = product;
                }
                products[i] = max;
            }
        }

        max = products[length];
        return max;
    }