【每日一题】3月10日石子搬运 线段树优化dp
石子搬运
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/200214
Solution
首先我们思考一个简化版的问题,如果不支持修改,我们如何找到搬运完全部石头数的最优解。
考虑动态规划解题,对于一堆石子来说,我们可以枚举搬运次数,根据求解的消耗是很容易发现数学规律,我们要让每次搬运的石头尽可能相同的多,就算有不同的不同的两次之间绝对值差值只能小于等于。
那么我们考虑代表把第堆石子分次搬完的最小花费是多少。这个花费计算也很简单,直接通过先平分,后面多出来的添加个石头把它分完即可。那么我们找到了分别运送每一份石子的最小花费,接下来就是算合并不同堆的操作了,很明显如果干巴巴的转移会发现很难实现,因为合并前个石堆,你并不能记录到你最小的花费之前搬运了几次,如果需要加上的话就要开三维的有点划不来。这里我们考虑用上线段树去优化,前面还是一样的,当我们走到线段树的叶子节点的时候,我们统计代表第堆石子它的最优情况。那么回到它的父亲,就可以对两个儿子之间进行枚举,枚举全部的可能就可以回溯的寻找到答案。注意要初始化成无穷大。
现在我们思考对于每次的修改,他究竟会改变的是什么,他只会改变一个叶子节点,并且之后对线段树路径上和叶子节点在同一边的点才能被更新,那么这里我们就可以使用递归在级的复杂度内完成对新节点的更新。但是回溯的时候依旧是要把全部父亲下面的两个儿子之间进行维护,代码和不修改的几乎一模一样。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0) #define all(__vv__) (__vv__).begin(), (__vv__).end() #define endl "\n" #define pai pair<int, int> #define ms(__x__,__val__) memset(__x__, __val__, sizeof(__x__)) #define rep(i, sta, en) for(int i=sta; i<=en; ++i) #define repp(i, sta, en) for(int i=sta; i>=en; --i) typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double ld; inline ll read() { ll s = 0, w = 1; char ch = getchar(); for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') w = -1; for (; isdigit(ch); ch = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48); return s * w; } inline void print(ll x, int op = 10) { if (!x) { putchar('0'); if (op) putchar(op); return; } char F[40]; ll tmp = x > 0 ? x : -x; if (x < 0)putchar('-'); int cnt = 0; while (tmp > 0) { F[cnt++] = tmp % 10 + '0'; tmp /= 10; } while (cnt > 0)putchar(F[--cnt]); if (op) putchar(op); } inline ll gcd(ll x, ll y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; } ll qpow(ll a, ll b) { ll ans = 1; while (b) { if (b & 1) ans *= a; b >>= 1; a *= a; } return ans; } ll qpow(ll a, ll b, ll mod) { ll ans = 1; while (b) { if (b & 1)(ans *= a) %= mod; b >>= 1; (a *= a) %= mod; }return ans % mod; } const int dir[][2] = { {0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0},{1,1},{1,-1},{-1,1},{-1,-1} }; const int MOD = 1e9 + 7; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct Node { ll val; int id; bool operator < (const Node& opt) const { return val < opt.val; } }; const int N = 400 + 7; ll n, m, q, x, v; ll f[N << 2][N], a[N]; #define mid (l+r>>1) #define lson rt<<1,l,mid #define rson rt<<1|1,mid+1,r ll calc(ll x, int p) { // x个石头分p次运 int num = x / p; int cnt2 = x % p; int cnt1 = p - cnt2; return 1ll * cnt1 * num * num + 1ll * cnt2 * (num + 1) * (num + 1); } void push_up(int rt) { ms(f[rt], 0x3f); for (int i = 1; i <= m; ++i) for (int j = 1; i + j <= m; ++j) f[rt][i + j] = min(f[rt][i + j], f[rt << 1][i] + f[rt << 1 | 1][j]); } void build(int rt, int l, int r) { if (l == r) { rep(i, 1, m) f[rt][i] = calc(a[l], i); return; } build(lson); build(rson); push_up(rt); } void update(int rt, int l, int r, int pos) { if (l == r) { rep(i, 1, m) f[rt][i] = calc(a[l], i); return; } if (pos <= mid) update(lson, pos); else update(rson, pos); push_up(rt); } void solve() { n = read(), m = read(); rep(i, 1, n) a[i] = read(); build(1, 1, n); q = read(); while (q--) { x = read(), v = read(); a[x] = v; update(1, 1, n, x); print(f[1][m]); } } int main() { //int T = read(); while (T--) solve(); return 0; }
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