前言

一个推式子的题目.题目给你三个杯子,以及一个币,开始的时候币在中间杯子,每次你都可以控制两侧杯子和中间杯子交换,问你次之后在中间杯子的概率.其中.

思路

粗略的想一想会发现,分母是,因为下一层状态数一定是上一层的两倍.
假设我们令表示到了第次,的状态数,很显然的是一定不可以产生,而其他每次一定可以产生一个,那么

.

而我们要求的是,那么,仔细点会发现是个等比差数列.

,两边同时,把,那么原式就等于,

.
然后就是分为奇数和偶数讨论一下符号了,以及最简式子.
假如是奇数:

,会发现取任意奇数,都是的倍数.而且不是的倍数.那么.

假如是偶数:

,和奇数基本一样,.
然后比较多,记得套上欧拉降幂.

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll qp(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)    res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }return res;
}
int main()
{
    int k;cin>>k;ll n=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        ll x;cin>>x;n=n*(x%(mod-1))%(mod-1);
    }if(n==0)    n=1e9+6;
    if(n&1)    printf("%lld/%lld\n",(qp(2ll,n-1)-1)*qp(3,mod-2)%mod,qp(2,n-1));
    else    printf("%lld/%lld\n",(qp(2ll,n-1)+1)*qp(3,mod-2)%mod,qp(2,n-1));
    return 0;
}