2020-10-10 15:26 天津大学 C++

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关于Bell的指数型生成函数推导

必要公式

首先我们知道

$B(n) = \sum_i S(n,i)$ 根据第二类斯特林数和贝尔数的定义很容易证明。
$S(n,i) = \frac{1}{i!}\sum_j (-1)^j{n \choose j}(i - j) ^ n$ 第二类斯特林数的通项公式，可以根据容斥定理枚举空的盒子得到。
$e^{px} = \sum_i \frac{x^n p^n}{n!}$ 我们知道 $e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3...$ 这个是 $e^x$ 在 $x_0 = 0$ 处的展开。而 $\frac{d(e^{px})}{d(px)}\times\frac{d(px)}{dx}=pe^{px}$ ，因此 $e^{px} = \sum_i \frac{x^n p^n}{n!}$ 得证。
$(1+x)^n=\sum_i {n\choose i}x^i$ 这个是最简单的二项式展开了。不多说明。

推导

$\hat{F}(x)=\sum_n \frac{x^n}{n!}\sum_i S(n,i) \\=\sum_n\frac{x^n}{n!}\sum_i\frac{1}{i!}\sum_{j}(-1)^j{n \choose j}(i-j)^n\\=\sum_n \frac{x^n}{n!}\sum_i \frac{1}{i!}\sum_j(-1)^{i-j}{n \choose j}j^n\\=\sum_i\frac{1}{i!}\sum_j(-1)^{i-j}{n\choose j}\sum_n \frac{x^nj^n}{n!}\\=\sum_i\frac{(-1)^i}{i!}\sum_j {n\choose j}(-e^{jx})\\= \sum_i\frac{(-1)^i}{i!}(1-e^x)^i\\= e^{e^x-1}$

那么现在 $B(n) = [\frac{x^n}{n!}]e^{e^x-1}$ 。是不是很神奇，神奇就点个赞再走吧。

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关于多项式

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