牛客练习赛68题解

A:牛牛的mex
题目要求一个区间的mex,可以离线,我们可以莫队维护。
需要注意的是,因为我们要的是根号算法,不能带log,因此我们搞两个分块,一个是莫队的,一个是值域的。
可以做到插入是O(1)的,单次查询是O(sqrt(n))的,就可以通过,总时间复杂度O(nsqrt(n))
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+5,B=355;
struct node{int l,r,id;}b[N];
int n,q,cntB,a[N],s[N],cnt[N],bl[N],L[N],R[N],ans[N];
void ins(int x){
    if(!x){cnt[0]++;return;}
    cnt[x]++;if(cnt[x]==1)s[bl[x]]++;
}
void del(int x){
    if(!x){cnt[0]--;return;}
    cnt[x]--;if(!cnt[x])s[bl[x]]--;
}
int mex(){
    if(!cnt[0])return 0;
    for(int i=1;i<=cntB;i++)if(s[i]!=R[i]-L[i]+1){
        for(int j=L[i];j<=R[i];j++)if(!cnt[j])return j;
    }
    return -1;
}
bool cmp(node a,node b){return bl[a.l]!=bl[b.l]?bl[a.l]<bl[b.l]:a.r<b.r;}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<N;i++)bl[i]=(i-1)/B+1;
    cntB=bl[n];for(int i=1;i<=cntB;i++)L[i]=(i-1)*B+1,R[i]=min(i*B,N-1);
    for(int i=1;i<=q;i++)scanf("%d%d",&b[i].l,&b[i].r),b[i].id=i;
    sort(b+1,b+q+1,cmp);
    for(int i=1,L=1,R=0;i<=q;i++){
        while(L>b[i].l)ins(a[--L]);
        while(R<b[i].r)ins(a[++R]);
        while(L<b[i].l)del(a[L++]);
        while(R>b[i].r)del(a[R--]);
        ans[b[i].id]=mex();
    } 
    for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

B:牛牛的算术
这题的模数很小,我们发现大于等于模数的情况都是0,那么我们只需要考虑剩余的情况。
发现这是一个可以递推两次求出来的,
我们先求一个1..i的和,然后再相加,接着相乘就可以。
然后这题我们就可以分部,特判一下较大的情况,剩余递推。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,P=199999;
int n,f[N],ans[N];char str[N];
int sum(int x){return (LL)x*(x+1)/2LL%P;}
int main(){
    for(int i=1;i<N;i++)f[i]=(f[i-1]+(LL)i*sum(i)%P)%P;
    ans[0]=1;for(int i=1;i<N;i++)ans[i]=(LL)ans[i-1]*f[i]%P*i%P;
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%s",str+1);
        int l=strlen(str+1),res=0;bool fl=false;
        for(int i=1;i<=l;i++){
            res=res*10+str[i]-'0';
            if(res>=P){fl=true;res%=P;} 
        }
        if(fl)puts("0");else printf("%d\n",ans[res]);
    }
    return 0;
}

C:牛牛的无向图
这个套路好像经常考,特别是codeforces上的。
我们考虑路径上的最大值,我们可以考虑转化为我们按照边权排序,然后用并查集维护连通性。
这样我们可以利用并查集的size求出点对的个数。
这题我们直接把边权和查询放在一起,排个序,然后并查集维护就可以,我们注意边权相同的情况,我们要先处理加边再查询。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
struct node{int u,v,w;}e[N];
int tot,fa[N],sz[N];
unsigned int SA, SB, SC; int n, m, q, LIM;
unsigned int rng61(){
    SA ^= SA << 16;
    SA ^= SA >> 5;
    SA ^= SA << 1;
    unsigned int t = SA;
    SA = SB;
    SB = SC;
    SC ^= t ^ SA;
    return SC;
}
void gen(){
    scanf("%d%d%d%u%u%u%d", &n, &m, &q, &SA, &SB, &SC, &LIM);
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        e[i].u = rng61() % n + 1;
        e[i].v = rng61() % n + 1;
        e[i].w = rng61() % LIM;
    }
    tot=m;
    for(int i = 1; i <= q; i++){
        e[++tot].w = rng61() % LIM;
        e[tot].u=e[tot].v=-i;
    }
}
bool cmp(node a,node b){return a.w!=b.w?a.w<b.w:a.u>b.u;}
int find(int u){return fa[u]==u?u:fa[u]=find(fa[u]);}
int main(){
    gen();for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,sz[i]=1;
    sort(e+1,e+tot+1,cmp);
    LL res=0,ans=0;
    for(int i=1,u,v,ru,rv;i<=tot;i++)if(e[i].u>0){
        u=e[i].u;v=e[i].v;ru=find(u);rv=find(v);
        if(ru!=rv)res+=(LL)sz[ru]*sz[rv],fa[rv]=ru,sz[ru]+=sz[rv];
    }else ans^=res;//printf("%d %lld\n",-e[i].u,res);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

D:牛牛的粉丝
首先我们考虑暴力dp,是O(nk)的,
紧接着我们发现n还不是特别大,我们可以对于这个n下手,然后想办法用倍增或者矩乘等类似方法把这个k降下来,降到大概log的复杂度,通常这种数据范围是这种套路。
这是我们已经有了一种暴力矩乘的方法,但是因为n至少是三方的,所以这题n=500不能接受。
于是我们观察,发现如果从i移到了j和从i+1移到了j+1是等价的,这样我们发现其实只和他们的移动的距离有关系(这里注意方向,是不等价的,也就是说向左和向右是不同的),那么由于这个距离是O(n)级别的,因此我们把这个矩乘优化到了平方的级别,可以通过。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=505,P=998244353;
int n,a,b,c,s,inv,pa,pb,pc,v[N],cv[N],mat[75][N][N],r[N<<1];LL k;bool usd[N<<1];
LL qpow(LL x,LL y){LL res=1;for(;y;y>>=1,x=(LL)x*x%P)if(y&1)res=(LL)res*x%P;return res;}
int main(){
    scanf("%d%lld",&n,&k);scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    s=a+b+c;inv=qpow(s,P-2);
    pa=(LL)a*inv%P;pb=(LL)b*inv%P;pc=(LL)c*inv%P;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
    //assert((k<=1e8&&(double)n*k<=4e8)||(double)n*n*n*log(k)<=8e8);
    for(int i=1,pk,sk;i<=n;i++)
        pk=i==1?n:i-1,sk=i==n?1:i+1,mat[0][pk][i]=pa,mat[0][i][i]=pc,mat[0][sk][i]=pb;
    int lg=(int)log2(k)+1;assert((1LL<<lg)>=k);
    for(int t=1;t<=lg;t++){
        memset(usd,false,sizeof(usd));
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(!usd[j-i+n]){
            usd[j-i+n]=true;
            for(int k=1;k<=n;k++)mat[t][i][j]=(mat[t][i][j]+(LL)mat[t-1][i][k]*mat[t-1][k][j]%P)%P;
            r[j-i+n]=mat[t][i][j];
        }else mat[t][i][j]=r[j-i+n];
        //printf("jz:%d\n",t);
        //for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)printf("%d%c",mat[t][i][j]," \n"[j==n]);
    }
    for(LL t=0;t<=lg;t++)if(k&(1LL<<t)){
        memset(cv,0,sizeof(cv));
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cv[i]=(cv[i]+(LL)v[j]*mat[t][j][i]%P)%P;
        for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=cv[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d%c",v[i]," \n"[i==n]);
    return 0;
}

E:牛牛的字符串
考试的时候发现这题稍微不太劣的暴力能过,也就是我们写一个暴力dp,然后发现这题的性质是我们i的转移是j
存在以j结尾的划分方案,并且这个j最大。
于是我们可以暴力dp,然后字符串hash判断是否回文,这个也可以用manacher来实现。
先给出暴力代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const ULL base=1e9+7;
int n,dp[N],pre[N];char str[N];
ULL phs[N],shs[N],pw[N];
vector<pii>v;
bool check(int l,int r){
    return phs[r]-phs[l-1]*pw[r-l+1]==shs[l]-shs[r+1]*pw[r-l+1];
}
int main(){
    scanf("%s",str+1);n=strlen(str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)phs[i]=phs[i-1]*base+str[i];
    for(int i=n;i;i--)shs[i]=shs[i+1]*base+str[i];
    pw[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*base;
    memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j>=1;j--)if(dp[j-1]>=0&&!check(j,i)){
        if(dp[i]<dp[j-1]+1){dp[i]=dp[j-1]+1;pre[i]=j-1;break;}
    }
    if(dp[n]<0){puts("-1");return 0;}
    int now=n;
    while(now)v.pb(pii(pre[now]+1,now)),now=pre[now];
    reverse(v.begin(),v.end());
    printf("%d\n",(int)v.size());
    for(auto x:v){
        for(int i=x.first;i<=x.second;i++)printf("%c",str[i]);puts("");
    }
    return 0;
}

比赛结束以后,思索为什么这个暴力为什么能过呢?
首先我们显然是找到合法的过程很快,所以暴力能过。
但是这个合法具体是什么呢?
我们举个例子
比如串是aabbccdd,我们显然如果转移过来的到当前只有一种字符显然是不行的,因为只有一种字符肯定是回文。
然后我们发现存在两种字符交替,比如是bbcc这样的一定不是回文,而且我们只会bbcc怎么转移,不会aabbcc,因为我们发现aabbcc肯定没有bbcc优。
有人可能会问?
aabbaa呢?
那这也是有两种字符,但是它是回文,不能转移欸。
我们发现bbaa肯定比aabbaa优,我们可以无视那种情况。
因此我们bbaa只会在bbaa和baa里面选,也就是a前面的字符的那个长度的里面的任意一个转移点。
然后这个就很好处理了,我们直接有线段树维护即可。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,Inf=1e9;
int n,dp[N],trs[N],id[N<<2],pre[N];char str[N];
int Cmp(int x,int y){return dp[x]>dp[y]?x:y;}
void build(int rt,int l,int r){
    if(l==r){id[rt]=l;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(rt<<1,l,mid);build(rt<<1|1,mid+1,r);
    id[rt]=Cmp(id[rt<<1],id[rt<<1|1]);
}
void change(int rt,int l,int r,int x){
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    (x<=mid)?change(rt<<1,l,mid,x):change(rt<<1|1,mid+1,r,x);
    id[rt]=Cmp(id[rt<<1],id[rt<<1|1]);
}
int ask(int rt,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R)return id[rt];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(R<=mid)return ask(rt<<1,l,mid,L,R);
    if(L>mid)return ask(rt<<1|1,mid+1,r,L,R);
    return Cmp(ask(rt<<1,l,mid,L,R),ask(rt<<1|1,mid+1,r,L,R));
}
void print(int x){
    if(trs[x])print(trs[x]);
    for(int i=trs[x]+1;i<=x;i++)printf("%c",str[i]);
    puts("");
}
int main(){
    scanf("%s",str+1);n=strlen(str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=-Inf;
    build(1,0,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)if(str[i]!=str[i-1])pre[i]=i;else pre[i]=pre[i-1];
    for(int i=1,x;i<=n;i++)if(pre[i]!=1)
        x=pre[i]-1,trs[i]=ask(1,0,n,pre[x]-1,x-1),dp[i]=dp[trs[i]]+1,change(1,0,n,i);
    if(dp[n]<=0)puts("-1");else printf("%d\n",dp[n]),print(n);
    return 0;
}

F待补,作者还不太会...见谅

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