A. GCD和LCM

简单莫比乌斯反演。

因为有一个$a$的限制，我们离线询问，将询问按$a$排序。

随时更新要维护来统计答案的数组就可以了。

B. 平面图

给出了平面图，所以自然想到对偶图。

如果知道平面图上每个点所连的边的顺序，一个平面图转对偶图的方式是：

考虑给每条边开两个对偶图上的节点，分别表示这条边左右对应的对偶图节点。

对于一个点伸出的两条相邻的边，合并两个对偶图上节点，表示这两个节点实际上是一个节点。

然后就转完了。

可以发现，删去一条边后连通块数$+1$仅当这条边是割边。

而这条边是割边等价于这条边左右对应的对偶图节点是同一个点。

所以在删边的同时维护对偶图节点连通性即可。

还有一个问题是如何维护原图上的连通性。

使用启发式分裂为两个子图中较小的一个子图重新标号就可以了。

因为图的大小并不容易维护，一个很帅的方式是两个子图同时进行$bfs$。

其中小的一个$bfs$结束了，那么就可以认为这是一个较小的子图（注意这里的$bfs$应当是每次只进行一条边，保证复杂度是正确的）。

C. 路径

是一个很神仙的题，大致思路是。

可以发现答案是一个式子，形式为$ans=\frac{f(n+m)}{f(n)f(m)}$。

然后又发现$f(n)=\prod_{i=1}^n (q^i-1)$在$mod\ p$意义下是有$0$的。

所以用各种各样奇怪的化式子的方法把这样的$0$提出来，对于非$0$项直接计算。

首先发现答案是一个式子这一步就卡住了，自认为后面能看懂题解，然后又被$DC$大神$hack$（读作$hank$）（迫真）了，只能痛苦$AC$。