AcWing 126. 最大的和 动态规划 O(n^3) 最大子矩阵的和

给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为1 * 1或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：

0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 

其最大子矩形为：

9 2 
-4 1 
-1 8 

它拥有最大和15。
输入格式

输入中将包含一个N*N的整数数组。

第一行只输入一个整数N，表示方形二维数组的大小。

从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的N2
个整数，它们即为二维数组中的N2

个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。

数组中的数字会保持在[-127,127]的范围内。
输出格式

输出一个整数，代表最大子矩形的总和。
数据范围

1≤N≤100

输入样例：

4
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2
-4 1 -4  1
 -1 8  0 -2

输出样例：

15

\

先推荐y总的讲题视频:https://www.acwing.com/video/123/

经典的dp, 对每一列求前缀和,就可以压缩成一维的dp,
一维的转移方程 :

• $dp\left[i\right]=max\left(dp\right[i-1]+a[i],a[i\left]\right)$dp[i]=max(dp[i−1]+a[i],a[i]) 第 $i$i个位置的最大值等于他本身或者它本身加上前面的最大值

对于这个二维矩阵,我们可以有 $O\left(N^4\right)$O(N4)的做法

• 枚举子矩阵的左上角和右下角,二维前缀和求矩阵和

$O\left(N^3\right)$O(N3)的算法如下

• 对每一列求前缀和
• 枚举 上边界和下边界 $\left(O^2\right)$(O2),对每一个长条看成一个数字,就变成了一维的问题
  

for(int i=1; i<=n; i++)
	for(int j=1; j<=n; j++) {
		read(mtx[i][j]);
		mtx[i][j] += mtx[i-1][j]; //求出这一列的前缀和
	}
int res = -0x3f3f3f3f; //初始化为最小值
for(int i=1; i<=n; i++)
	for(int j=i; j<=n; j++) {
		int lst = 0;
		for(int k=1; k<=n; k++) {
			int num = mtx[j][k] - mtx[i-1][k]; //这一列的长条压缩成一个数字
			lst = max(lst, 0) + num; // 用一维就最大连续子数组和的方法求
			res = max(res, lst);     // 一维的转移方程
									 // dp[i] = max(a[i], dp[i-1]+a[i])
		}
	}

完整代码如下

#define debug
#ifdef debug
#include <time.h>
#include "/home/majiao/mb.h"
#endif

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>

#define MAXN (128)
#define ll long long int
#define INF (0x7f7f7f7f)
#define fori(lef, rig) for(int i=lef; i<=rig; i++)
#define forj(lef, rig) for(int j=lef; j<=rig; j++)
#define fork(lef, rig) for(int k=lef; k<=rig; k++)
#define QAQ (0)

using namespace std;

#define show(x...) \ do { \ cout << "\033[31;1m " << #x << " -> "; \ err(x); \ } while (0)

void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<typename T, typename... A>
void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }

namespace FastIO{

	char print_f[105];
	void read() {}
	void print() { putchar('\n'); }

	template <typename T, typename... T2>
		inline void read(T &x, T2 &... oth) {
			x = 0;
			char ch = getchar();
			ll f = 1;
			while (!isdigit(ch)) {
				if (ch == '-') f *= -1; 
				ch = getchar();
			}
			while (isdigit(ch)) {
				x = x * 10 + ch - 48;
				ch = getchar();
			}
			x *= f;
			read(oth...);
		}
	template <typename T, typename... T2>
		inline void print(T x, T2... oth) {
			ll p3=-1;
			if(x<0) putchar('-'), x=-x;
			do{
				print_f[++p3] = x%10 + 48;
			} while(x/=10);
			while(p3>=0) putchar(print_f[p3--]);
			putchar(' ');
			print(oth...);
		}
} // namespace FastIO
using FastIO::print;
using FastIO::read;

int n, m, Q, K;
int mtx[MAXN][MAXN];

int main() {
#ifdef debug
	freopen("test", "r", stdin);
	clock_t stime = clock();
#endif
	read(n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			read(mtx[i][j]);
			mtx[i][j] += mtx[i-1][j]; //求出这一列的前缀和
		}
	int res = -0x3f3f3f3f;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=i; j<=n; j++) {
			int lst = 0;
			for(int k=1; k<=n; k++) {
				int num = mtx[j][k] - mtx[i-1][k];
				lst = max(lst, 0) + num;
				res = max(res, lst);
			}
		}
	printf("%d\n", res);





#ifdef debug
	clock_t etime = clock();
	printf("rum time: %lf 秒\n",(double) (etime-stime)/CLOCKS_PER_SEC);
#endif 
	return 0;
}