贝叶斯决策论（后验概率最大化）的问题

在看待解决一分类问题时候，在相关概率已知的条件下，贝叶斯决策论考虑如何基于这些概率把（期望损失）风险 降到最低，从而得到最优的类别标记，即 期望风险最小化。

假设由 $N$N种可能的类别标记为 $y=\{c_1,c_2...c_n\}$y={c1​,c2​...cn​}， ${\lambda }_{ij}$λij​是一个将真实标记为 $c_j$cj​误分类为 $c_i$ci​所产生的损失，则基于后验概率 $P\left(c_i\mid x\right)$P(ci​∣x)可得到将样本分类为 $c_i$ci​的风险，即在样本上面的条件风险，可表示为： $R\left(c_j\mid x\right)=\sum _{j=1}^N{\lambda }_{ij}P\left(c_i\mid x\right)，其中{\lambda }_{ij}=0,ifi=j;{\lambda }_{ij}=1,otherwise;$R(cj​∣x)=j=1∑N​λij​P(ci​∣x)，其中λij​=0,if i=j ;λij​=1,otherwise;
显然 $i=j$i=j时分类正确，风险为0，如若分类错误则在风险会随后验概率 $P\left(c_i\mid x\right)$P(ci​∣x)的变化而变化，即基于后验概率 $P\left(c_i\mid x\right)$P(ci​∣x)预测错误类别的概率越大风险越大。

以上为样本 $x$x一条样本产生的风险， $E$E表示总体样本集合，则总体风险可表示为： $R\left(h\right)=E_x\left[R\right(h\left(x\right)\mid x\left)\right]=E_x\left[\sum _{j=1}^N{\lambda }_{ij}P\right(c_i\mid x\left)\right]$R(h)=Ex​[R(h(x)∣x)]=Ex​[j=1∑N​λij​P(ci​∣x)]
显然我们如果能最小化条件风险，则总体风险自然也将最小化，下面是 $x$x 样本期望风险最小化过程：

以上我么由 期望风险最小化 进而得出 后验概率最大化准则，这就是朴素贝叶斯法所采用的原理。即我们只需要去求： $h^{\ast }\left(x\right)=argmaxP\left(c\mid x\right)=argmax\frac{P\left(c\right)P\left(x\mid c\right)}{P\left(x\right)},c\in y$h∗(x)=argmaxP(c∣x)=argmaxP(x)P(c)P(x∣c)​,c∈y
即可求得最优的类别标记。

朴素贝叶斯详细内容可参考：https://blog.csdn.net/H_hei/article/details/84327975

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