具体数学-第4课（多重求和方法）

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今天讲了多重求和，也就是一个和式由多个下标来指定。

首先是最简单的形式：

例题1

下面给出一个对称矩阵：

求：

这是这个矩阵的上三角加对角线求和，因为是对称的嘛，可以补全下三角，加上对角线就行了。

所以

例题2

下面再看一个例子：

同样模仿上例调换 位置，得到：

所以

至此解完，然后可以推出一个著名的不等式————切比雪夫不等式：

如果

那么

反之如果

那么

更一般的结论，给定两个序列 和 ，求下面式子最大值与最小值：

其中 是 的一个排列。
答案是 增序最大，降序最小，至于为什么，下面给出两种证明方法。

方法1

如上图所示， 和 按照递增顺序排列，每个方格的面积代表 与 的乘积，记为 。
那么上面的求和式其实就是每一行每一列都必须有且只有一块被取。
考虑第一行，如果不取 ，取其他的 ，那么第一列也只能取其他的 ，这样的话 也就取不了了。但是发现

并且两种取法影响的行和列都是相同的，这说明了，取 和 不如取 和 。所以 必取，然后第一行第一列就不能取了。剩下的方阵用相同的方法可以得出必取 ，也就是主对角线。
同理最小取法用副对角线可以推出。

方法2

设数列 和 非单调递减，那么有如下证明：

反之亦证。

题外话，其实切比雪夫不等式原来是以微积分形式给出的：
如果函数 和 非单调递减，那么有：

例题3

求

我将用三种方法来求解这个式子。

方法1

首先将 和 分开，首先计算对 求和：

方法2

先计算对 求和：

方法3

按对角线求和：

由此得到了一个完全不同的表示形式！
所以我们得到了：