具体数学-第5课（8种方法求和）

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今天继续讲求和的方法。
针对以下求和式，我们用8种方法来求解：
${S_n} = \sum\limits_{0 \le k \le n} { {k^2}}$
大家应该都已经背上了它的答案：
${S_n} = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

方法0

查表。
这就不用说了，很多文献都有现成的解，拿来直接用就行了。
再给大家推荐一个整数序列查询网站OEIS：The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)

方法1

猜答案，然后用数学归纳法证明。
这个也不多说了，前提是你得猜得出来，这题的公式还是很难猜的。

方法2

扰动法。
令
$T = \sum\limits_{0 \le k \le n} { {k^3}}$
所以
$\begin{array}{l}T + {(n + 1)^3}\\ = \sum\limits_{1 \le k \le n + 1} { {k^3}} \\ = \sum\limits_{1 \le k \le n + 1} { { {(k - 1)}^3}} + \sum\limits_{1 \le k \le n + 1} {(3{k^2} - 3k + 1)} \\ = \sum\limits_{0 \le k \le n} { {k^3}} + \sum\limits_{1 \le k \le n + 1} {[3{ {(k - 1)}^2} + 3k - 2]} \\ = T + 3{S_n} + \frac{ {3(n + 2)(n + 1)}}{2} - 2(n + 1)\end{array}$
解出
$3{S_n} = {(n + 1)^3} - \frac{ {3(n + 2)(n + 1)}}{2} + 2(n + 1) = n(n + \frac{1}{2})(n + 1)$
最终得到
${S_n} = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

可以看出，我们本来是要对 $k^2$ 求和的，但是只要对 $k^3$ 用扰动法求和即可，因为求和过程中 $k^3$ 项会被抵消掉。

方法3

成套方法。
定义如下递归式：
$\begin{array}{l}{R_0} = \alpha \\{R_n} = {R_{n - 1}} + \beta + \gamma n + \delta {n^2}\end{array}$
由第2课可知，设解的形式为：
${R_n} = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma + D(n)\delta$
分别令 ${R_n} = 1,n,{n^2}$ 可以解出
$A(n) = 1,B(n) = n,C(n) = \frac{ {n(n + 1)}}{2}$
再另 ${R_n} = {n^3}$ ，可以得到
$3D(n) = {n^3} + 3C(n) - B(n) = n(n + \frac{1}{2})(n + 1)$
即
$D(n) = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

这时如果令
$\alpha = \beta = \gamma = 0,\delta = 1$
那么
${R_n} = \sum\limits_{0 \le k \le n} { {k^2}} = D(n) = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

方法4

积分法
求和式可以近似成积分 $\int_0^n { {x^2}dx} = {n^3}/3$
但是还少算了一部分误差，设为 $E_n$ ，则有
${E_n} = {S_n} - \frac{1}{3}{n^3} = {S_{n - 1}} + {n^2} - \frac{1}{3}{n^3} = {E_{n - 1}} + n - \frac{1}{3}$
解得
${E_n} = \frac{ {3{n^2} + n}}{6}$
所以
${S_n} = {E_n} + \frac{1}{3}{n^3} = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

其实这种方法就是把最高次直接给算出来了，低次项可以直接求和的。

方法5

扩展成二重指标求和
$\begin{array}{l}{S_n} = \sum\limits_{1 \le k \le n} { {k^2}} = \sum\limits_{1 \le j \le k \le n} { {k^2}} \\ = \sum\limits_{1 \le j \le n} {\sum\limits_{j \le k \le n} k } \\ = \sum\limits_{1 \le j \le n} {(\frac{ {j + n}}{2})(n - j + 1)} \\ = \frac{1}{2}\sum\limits_{1 \le j \le n} {(n(n + 1) + j - {j^2})} \\ = \frac{1}{2}{n^2}(n + 1) + \frac{1}{4}n(n + 1) - \frac{1}{2}{S_n}\\ = \frac{1}{2}n(n + \frac{1}{2})(n + 1) - \frac{1}{2}{S_n}\end{array}$
所以
${S_n} = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

方法6

用有限微分求和
微分的形式大家都知道，如下：
$\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)$
那如果我们定义
$f(x) = {x^m}$
则有
$\Delta f(x) = {(x + 1)^m} - {x^m}$
似乎并不能和导数形式统一起来，用起来也不方便，那么我们定义一个新的函数，叫做下降阶乘幂：
$f(x) = {x^{\underline{m}}} = x(x - 1) \ldots (x - m + 1)$
同理还可以定义上升阶乘幂。
这个函数有一个很好的性质，那就是
$\Delta ({x^{\underline{m}}}) = m{x^{\underline{ {m - 1}}}}$
令
$g(x) = \Delta f(x)$
那么和积分类似，有
$\sum\nolimits_a^b {g(x)\delta x} = f(b) - f(a)$
所以
$\sum\limits_{0 \le k < n} { {k^{\underline{m}}}} = \left. {\frac{ { {k^{ {\underline{m + 1}}}}}}{ {m + 1}}} \right|_0^n = \frac{ { {n^{ {\underline{m + 1}}}}}}{ {m + 1}}$

因为有
${k^2} = {k^{\underline{2}}} + {k^{\underline{1}}}$
所以
$\sum\limits_{0 \le k < n} { {k^2}} = \frac{ { {n^{\underline{3}}}}}{3} + \frac{ { {n^{\underline{2}}}}}{2} = \frac{ {n(n - 1)(2n - 1)}}{6}$
同样可以得到
${S_n} = \frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$