具体数学-第10课（素数和阶乘的有趣性质）

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欧几里得数

首先我们来证明一下，素数有无穷多个。

假设素数只有 个，分别为 ，那么我们构造下面的数字：

显然 无法被 中的任意一个整除，那么要么 可以被其他的素数整除，要么 自己就是一个素数。所以素数有无穷多个。

下面我们来定义欧几里得数，是用递归形式来定义的：

那么欧几里得数是否是素数呢？当然不是的， 。

但是欧几里得数还是有很多奇妙的性质。

性质1

证明：
假设 ，那么有

性质2
如果令 等于 的最小素因子，那么 就是一个不重复的素数序列，这也证明了素数有无穷多个。
性质3

在后面的章节可以证明：

其中

下面我们稍稍探究一下下面这个数的性质：

这个数如果是素数，那么就被叫做梅森素数，那么它在什么情况下是素数呢？

首先 不能是合数，因为有

但是如果 是素数，这个数也不一定是素数，2017年年末美国一个电气工程师发现了人类历史上最大的梅森素数—— 。

阶乘

阶乘定义如下：

所以有

由基本不等式可以得到

所以

所以

这里得到了阶乘的一个粗略范围，在后面章节中，我们会得到阶乘的一个更精确的表达式：

这就是斯特林数，搞ACM还是很有用的。

下面我们来探讨 中含有多少个素因子 ，个数记为 。

从特殊情况讨论起，当 的时候，我们首先看 含有多少个2，然后看有多少个4，再看有多少个8，依次下去，所以答案为：

可以看出，这个答案不就是 的二进制表示不停右移1位，然后相加吗？所以又可以写成：

其中 表示 的二进制表示中1的个数。

推广到一般情况：

放缩一下有：

如果我们令 和 可以发现：

但是这个式子在什么情况下相等呢？这仍然是一个未解之谜。

所以 对 的贡献度满足如下式子：

又因为 ，所以

假设素数只有 个，分别为 ，那么有

如果我们令 ，那么

这与我们之前推过的不等式矛盾！所以一定有无穷个素数。

设小于等于 的素数个数为 ，所以

根据斯特林数公式，我们可以得到

互素

定义
和 互素定义为 ，记作 。

互素也有很多性质。

性质1

性质2

其中 就是两个数的素数指数表示法，详细定义见上一节课。
或者可以表示为

性质3

Stern-Brocot树

如上图所示，Stern-Brocot树就是0到1之间的分数生成的一棵二叉树。

初始时只有 两个数，第一轮将两者分母相加，分子也相加作为新的分数的分母分子。第二轮再对相邻的两个分数做相同的操作，生成新的分数序列。不断生成下去，得到了上图的二叉树。

Stern-Brocot树有下面四个性质：

1. 0到1之间的所有有理数都出现在了这棵树中。
2. 每个分数仅出现了1次。
3. 每个分数都是不可约分的，即分子分母互素。
4. 生成的序列是单调递增的。

下面我们来一个一个证明。

引理
对于相邻的两个分数 ，满足：

证明
用数学归纳法证明。

性质4就是证明：

结论是很显然的，这样性质2同时就成立了。

性质1的话，对于任意有理数 ，假设 。
我们采用如下策略生成 。

• 如果 ，那么成功。
• 如果 ，那么令 。
• 如果 ，那么令 。

那么有

所以

而左边式子就等于 ，所以

因为 都在不断增加，所以最多 轮就能生成 。

性质3的话，同样用数学归纳法。通过引理可以得到

由扩展欧几里得定理可以得到 与 互素。

Farey序列
我们引申出Farey序列的概念，定义如下：

关于它的更多性质，留到下一节课继续。