2020-04-02 18:09 已编辑华东师范大学算法工程师

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每日一题[LeetCode 689]三个无重叠子数组的最大和

闲来无事，为了保证日更，从今天开始每天更新一道LeetCode题解。
做题顺序是这样的：随机选择一题“困难”类型的题目。
因本人ACM退役颇久，代码多有疏漏，望多多见谅。

题目描述：

给定数组 $nums$ 由正整数组成，找到三个互不重叠的子数组的最大和。

每个子数组的长度为 $k$ ，我们要使这 $3k$ 个项的和最大化。

返回每个区间起始索引的列表（索引从 0 开始）。如果有多个结果，返回字典序最小的一个。

示例输入：

[1,2,1,2,6,7,5,1], 2

示例输出：

[0, 3, 5]

示例解释：

子数组 [1, 2], [2, 6], [7, 5] 对应的起始索引为 [0, 3, 5]。

我们也可以取 [2, 1], 但是结果 [1, 3, 5] 在字典序上更大。

提示：

$nums.length$ 的范围在[1, 20000]之间。

$nums[i]$ 的范围在[1, 65535]之间。

$k$ 的范围在[1, $floor(nums.length / 3)$ ]之间。

题解：

首先看数据范围，这题不能使用暴力，暴力时间复杂度是 $O(n^3)$ ，一定会超时，所以考虑使用动态规划求解。

下面考虑一般情况，也就是求解划分成 $N$ 个不重叠数组的最大和。

假设到第 $i$ 个元素为止，一共已经产生了 $j$ 个不重叠数组，那么令 $dp[i][j]$ 表示这 $j$ 个不重叠数组的最大和。

然后就要寻找状态转移方程。对于第 $i$ 个元素，分为两种情况，可取可不取。

如果取，那就说明 $nums[i]$ 是第 $j$ 个子数组的最后一个元素，那么转移方程为：

$dp[i][j] = dp[i-k][j-1]+nums_{i-k+1:i}$

也就是说，从 $i-k+1$ 到 $i$ ，这 $k$ 个元素构成了第 $j$ 个子数组，那我们只需要求到第 $i-k$ 个元素为止，产生 $j-1$ 个不重叠数组的最大和即可。

如果不取，那问题就变成了求到第 $i-1$ 个元素为止，产生 $j$ 个不重叠数组的最大和，那么转移方程为：

$dp[i][j] = dp[i-1][j]$

当然这题还需要你还原出最大和的情况下，所有子数组的起始元素下标，所以需要另外用一个数组保存一下每一步的最优下标。

同样，假设到第 $i$ 个元素为止，一共已经产生了 $j$ 个不重叠数组，用 $path[i][j]$ 表示第 $j$ 个子数组的末尾元素下标。

那么按照上面的推断，如果取第 $i$ 个元素，那么 $path[i][j]=i$ ；否则的话 $path[i][j]=path[i-1][j]$ 。

最后就是根据 $path$ 数组还原答案了。

首先最后一个子数组的末尾元素下标一定是 $idx=path[len-1][N]$ ，那么它的起始元素下标就是 $idx-k+1$ ，然后前一个子数组末尾元素下标就是 $idx=path[idx-k][N-1]$ ，依次下去，直到第一个子数组被求解完毕。

代码

        class Solution {
public:
    vector<int> maxSumOfThreeSubarrays(vector<int>& nums, int k) {
        int len = nums.size(), N = 3;
        int sum[len], s = 0;
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            s += nums[i];
            sum[i] = 0;
        }
        sum[k-1] = s;
        for (int i = k; i < len; ++i) {
            s += nums[i] - nums[i - k];
            sum[i] = s;
        }

        int dp[len][N+1], path[len][N+1];
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        dp[k-1][1] = sum[k-1];
        path[k-1][1] = k - 1;
        for (int i = k; i < len; ++i) {
            for (int j = 1; j <= N; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                path[i][j] = path[i-1][j];
                if (dp[i][j] < dp[i-k][j-1] + sum[i]) {
                    dp[i][j] = dp[i-k][j-1] + sum[i];
                    path[i][j] = i;
                }
            }
        }
        
        vector<int> res;
        int idx = path[len-1][N];
        res.push_back(idx - k + 1);
        for (int i = N - 1; i > 0; --i) {
            idx = path[idx-k][i];
            res.push_back(idx - k + 1);
        }
        reverse(res.begin(), res.end());
        return res;
    }
};