每日算法系列【LeetCode 1006】笨阶乘

题目描述

通常，正整数 n 的阶乘是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。例如，factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1。

相反，我们设计了一个笨阶乘 clumsy：在整数的递减序列中，我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符：乘法(*)，除法(/)，加法(+)和减法(-)。

例如，clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1。然而，这些运算仍然使用通常的算术运算顺序：我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤，并且按从左到右处理乘法和除法步骤。

另外，我们使用的除法是地板除法（floor division），所以 10 * 9 / 8 等于 11。这保证结果是一个整数。

实现上面定义的笨函数：给定一个整数 N，它返回 N 的笨阶乘。

示例1

        输入：
4
输出：
7
解释：
7 = 4 * 3 / 2 + 1
      

示例2

        输入：
10
输出：
12
解释：
12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1
      

提示

• 
• （答案保证符合 32 位整数。）

题解

笨方法我就不写了，按照运算顺序模拟一遍，数量比较少的话，应该也不会超时。

这道题可以用简单的数学计算来优化一下，首先笨阶乘数学形式是下面这样的：

好像看不出什么东西，那么我们先去掉取整符号看看：

所以当 时，取整符号可以直接去掉：

所以我们就讨论 时的情况，笨函数可以写成：

也就是第一个取整（ 项）结果是 ，而后面每 项结果是 0 ，最后还剩余不足 项的结果 。

那么 的取值有 种情况：

• ，也就是最后剩余 项时， 。
• ，也就是最后剩余 项时， 。
• ，也就是最后剩余 项时， 。
• ，也就是最后剩余 项时， 。

但是考虑到取整函数只有在 时才等于 ，也就是最后剩余的项数大于 时才行。那么上面的 种情况的 两种，就要特殊处理一下前一个取整结果：

• ，也就是最后剩余 项时， 。
• ，也就是最后剩余 项时， 。
• ，也就是最后剩余 项时， 。
• ，也就是最后剩余 项时， 。

综上， 时的结果直接算出来就行了， 时结果就是 。

代码

c++

        class Solution {
public:
    int clumsy(int N) {
        int q = N & 3;
        int a[5] = {0, 1, 2, 6, 7};
        int d[4] = {1, 2, 2, -1};
        return N>=5 ? N+d[q] : a[N];
    }
};

      

python

        class Solution:
    def clumsy(self, N: int) -> int:
        q = N & 3
        a = [0, 1, 2, 6, 7]
        d = [1, 2, 2, -1]
        return N+d[q] if N>=5 else a[N]