LeetCode161周赛第四题

5250. 检查好数组

题目描述

给你一个正整数数组 nums，你需要从中任选一些子集，然后将子集中每一个数乘以一个 任意整数，并求出他们的和。
假如该和结果为 1，那么原数组就是一个「好数组」，则返回 True；否则请返回False。

示例

示例1：

输入：nums = [12,5,7,23]
输出：true
解释：挑选数字 5 和 7。
53 + 7(-2) = 1

示例2：

输入：nums = [29,6,10]
输出：true
解释：挑选数字 29, 6 和 10。
291 + 6(-3) + 10*(-1) = 1

示例3：

输入：nums = [3,6]
输出：false

提示：

• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i]<= 10^9

题目分析

一道数论的题目，关于多元一次方程有整数解的问题
裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d=gcd(a,b)，关于未知数x和y的线性不定方程 ax+by=d（称为裴蜀等式）：

• 若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数
• 特别地，如果gcd(a,b)=d，那么一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

将上述a,b推广到n个整数：

设a1,a2,a3…an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1…xn使得x1a1+x2a2+…xn*an=d。

Java代码

public boolean isGoodArray(int[] nums) { // 求多元一次方程组的正整数解 // 实质上是gcd(ai)|N int sum = nums[0]; for(int i=1;inums.length;i++){ sum = GCD(sum,nums[i]); } return sum==1; } private int GCD(int a,int b) { if(b==0) return a; else return GCD(b,a%b); }