剑指offer_约瑟夫环问题（圆圈中最后剩下的数字）

01_孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1

解题思路

如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们就可以用简单的递归来解决这个问题我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

java代码实现如下：

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n==0)
            return -1;
        if(n==1)
            return 0;
        else
     return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;

    }
}

上面代码也可以压缩为一行代码来表示：

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {

       return n<2?n-1:(LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
  //如果编号从1开始，则代码如下
  //if(n==0) return -1;
  //if(n==0) return -1;
  //return n == 1 ? n : (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;

    }
}

02_剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

解题思路

先举几个例子，可以看出规律来。
2 : 1*1

3 : 1*2

4 ： 2*2

5 ： 2*3

6 ： 3*3

7 ： 2*2*3 或者4*3

8 ： 2*3*3

9 ： 3*3*3

10：2*2*3*3 或者4*3*3

11：2*3*3*3

12：3*3*3*3

13：2*2*3*3*3 或者4*3*3*3

首先判断k[0]到k[m]可能有哪些数字，实际上只可能是2或者3。
当然也可能有4，但是4=2*2，我们就简单些不考虑了。
5<2*3,6<3*3,比6更大的数字我们就更不用考虑了，肯定要继续分。
其次看2和3的数量，2的数量肯定小于3个，为什么呢？
因为2*2*2<3*3，那么题目就简单了。
直接用n除以3，根据得到的余数判断是一个2还是两个2还是没有2就行了。
由于题目规定m>1，所以2只能是1*1，3只能是2*1，这两个特殊情况直接返回就行了。

这里不考虑长度为小数的情况

java代码实现如下：

public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
    if (target <= 3) {
        return target-1;
    }
    int x = target % 3;
    int y = target / 3;
    if (x == 0) {
        return (int)Math.pow(3, y);
    } else if (x == 1) {
        return 2 * 2 * (int) Math.pow(3, y - 1);
    } else {
        return 2 * (int) Math.pow(3, y);
    }
}
}