SP1026 FAVDICE - Favorite Dice[期望DP]

也许更好的阅读体验
$Description$Description
一个 $n$n面的骰子，求期望掷几次能使得每一面都被掷到
输入有 $T$T组数据，每次输入一个 $n$n
输出保留两位小数

$Solution$Solution
设 $f\left[i\right]$f[i]表示已经掷到过 $i$i面，还 期望掷多少次骰子使每一面都被掷到
现在掷一次骰子，有两种情况

1. 有 $\frac{i}{n}$ni​的概率掷到已经掷到过的面，此时仍然还要掷 $f\left[i\right]$f[i]次骰子
2. 有 $\frac{n-i}{n}$nn−i​的概率掷到没掷到过的面，此后就掷到过 $i+1$i+1个面了，还需掷 $f[i+1]$f[i+1]次骰子

需要注意的是，无论是掷到以上哪种情况，都需要掷一次骰子
所以有
$f\left[i\right]=\frac{i}{n}f\left[i\right]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1$f[i]=ni​f[i]+nn−i​f[i+1]+1
将其化简
$f\left[i\right]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}$f[i]=f[i+1]+n−in​

初值 $f\left[n\right]=0$f[n]=0，答案为 $f\left[0\right]$f[0]
应逆向循环

$Code$Code

/******************************* Author:Morning_Glory LANG:C++ Created Time:2019年07月21日 星期日 14时51分18秒 *******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	 flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	 res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int T,n;
double f[maxn];//f[i] -> 有了i个面，变成拥有n个面的期望
int main()
{
	freopen("p1026.in","r",stdin);
	freopen("p1026.out","w",stdout);
	cin>>T;
	while (T--){
		cin>>n;
		f[n]=0;
		for (int i=n-1;i>=0;--i)	f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i);
		printf("%.2lf\n",f[0]);
	}
	return 0;
}

本篇博客亦被收进期望总结

如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
如您喜欢的话不妨点个赞收藏一下吧