AVL自平衡二叉树

先对二叉树的不平衡结构进行总结:

各种旋转特别注意字母含义(结构)和其旋转操作之间的区别

二叉树不平衡结构	性质	平衡操作
LL	root bf =2	root->left 进行右旋操作
RR	root bf=-2	root->right 进行左旋操作
LR	root bf=2,root->left bf=-1	root->left 进行 RR左旋操作，root根结点进行LL右旋操作
RL	root bf=-2,root->right bf=1	root->right 进行LL 右旋操作，root根结点进行RR左旋操作

cpp的完整实现

AVL.c文件中也有图旋转步骤

// 1.LL : left-left
/*
 * 对于LL只需要进行单旋转就可以
 */

/*
 *     insert node =i
 *
 *                       k2                           k1
 *                      /  \       平衡              /   \
 *                     k1   z     -----\           x     k2
 *                    /  \        -----/            \   /  \
 *                   x    y                          i y    z
 *                    \
 *                     i                    
 */

static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
    // 结点重新连接 
    AVLTree k1;
    k1=k2->left;                        // 得到旋转后的根结点
    k2->left=k1->right;                 // y结点进行修改
    k1->right=k2;                       // 原根结点向右旋转

    // 结点高度保存值的update 更新
    k2->height=MAX(HEIGHT(k2->right),HEIGHT(k2->left))+1;
    k1->height=MAX(HEIGHT(k1->left),k2->height)+1;

    return k1;                           // 返回新根结点
}

// 2 RR right_right
/*
 * RR也是自需要进行单旋转
 * insert node =i
 *
 *                       k2                                 k1
 *                      /  \                               /  \                     
 *                     x    k1         ------\            k2   z
 *                         /  \        ------/           /  \   \
 *                        y    z                        x    y   i
 *                              \
 *                               i
 */
static Node* right_right_rotation(AVLTree k2)
{
    AVLTree k1;
    k1=k2->right;
    k2->right=k1->left;
    k1->left=k2;

    k2->height=MAX(HEIGHT(k2->left),HEIGHT(k2->right))+1;
    k1->HEIGHT=MAX(HEIGHT(k1->right),k2->height)+1;

    return k1;
}

// 3 LR left_right
/*
 * LR 需要进行双旋转才可以恢复平衡
 * 第一步，对left结点 RR
 * 第二步，根结点进行LL
 * 
 *                       k3                       k3                       k2
 *                     /    \      RR           /    \     LL            /    \
 *                    k1     d    ----\        k2     d   ----\        k1      k3
 *                  /    \        ----/       /  \        ----/       /  \    /  \
 *                 a     k2                  k1   c                  a    b  c    d
 *                      /  \                /  \
 *                     b   c               a    b         
 */

static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
    k3->left=right_right_rotation(k3->left);
    return left_left_rotation(k3);
}

// 4 RL right_left
/*
 * RL 需要惊醒双旋转
 * 第一步，对right结点进行LL
 * 第二步，对根结点进行RR
 *         
 *                      k1                      k1                          k2
 *                    /    \      LL          /    \       RR             /    \
 *                   a     k3    ----\       a     k2     -----\         k1    k3
 *                        /  \   ----/            /  \    -----/        /  \  /   \
 *                       k2   d                  b    k3               a   b  c    d
 *                      /  \                         /  \
 *                     b    c                       c    d
 */

static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
    k1->right=left_left_rotation(k1->right);
    return right_right_rotation(k1);
}

附上完整实现的CPP代码

头文件

#ifndef _AVL_TREE_HPP_
#define _AVL_TREE_HPP_

#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;

template <class T>
class AVLTreeNode{
    public:
        T key;                // 关键字(键值)
        int height;         // 高度
        AVLTreeNode *left;    // 左孩子
        AVLTreeNode *right;    // 右孩子

        AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):
            key(value), height(0),left(l),right(r) {}
};

template <class T>
class AVLTree {
    private:
        AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点

    public:
        AVLTree();
        ~AVLTree();

        // 获取树的高度
        int height();
        // 获取树的高度
        int max(int a, int b);

        // 前序遍历"AVL树"
        void preOrder();
        // 中序遍历"AVL树"
        void inOrder();
        // 后序遍历"AVL树"
        void postOrder();

        // (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* search(T key);
        // (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);

        // 查找最小结点：返回最小结点的键值。
        T minimum();
        // 查找最大结点：返回最大结点的键值。
        T maximum();

        // 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中
        void insert(T key);

        // 删除结点(key为节点键值)
        void remove(T key);

        // 销毁AVL树
        void destroy();

        // 打印AVL树
        void print();
    private:
        // 获取树的高度
        int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;

        // 前序遍历"AVL树"
        void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
        // 中序遍历"AVL树"
        void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
        // 后序遍历"AVL树"
        void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;

        // (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
        // (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
        AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;

        // 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
        AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);
        // 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
        AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);

        // LL：左左对应的情况(左单旋转)。
        AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);

        // RR：右右对应的情况(右单旋转)。
        AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);

        // LR：左右对应的情况(左双旋转)。
        AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);

        // RL：右左对应的情况(右双旋转)。
        AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);

        // 将结点(z)插入到AVL树(tree)中
        AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);

        // 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点
        AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);

        // 销毁AVL树
        void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);

        // 打印AVL树
        void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
};

/* 
 * 构造函数
 */
template <class T>
AVLTree<T>::AVLTree():mRoot(NULL)
{
}

/* 
 * 析构函数
 */
template <class T>
AVLTree<T>::~AVLTree() 
{
    destroy(mRoot);
}

/*
 * 获取树的高度
 */
template <class T>
int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) 
{
    if (tree != NULL)
        return tree->height;

    return 0;
}

template <class T>
int AVLTree<T>::height() 
{
    return height(mRoot);
}
/*
 * 比较两个值的大小
 */
template <class T>
int AVLTree<T>::max(int a, int b) 
{
    return a>b ? a : b;
}

/*
 * 前序遍历"AVL树"
 */
template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        cout<< tree->key << " " ;
        preOrder(tree->left);
        preOrder(tree->right);
    }
}

template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder() 
{
    preOrder(mRoot);
}

/*
 * 中序遍历"AVL树"
 */
template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        inOrder(tree->left);
        cout<< tree->key << " " ;
        inOrder(tree->right);
    }
}

template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder() 
{
    inOrder(mRoot);
}

/*
 * 后序遍历"AVL树"
 */
template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        postOrder(tree->left);
        postOrder(tree->right);
        cout<< tree->key << " " ;
    }
}

template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder() 
{
    postOrder(mRoot);
}

/*
 * (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{
    if (x==NULL || x->key==key)
        return x;

    if (key < x->key)
        return search(x->left, key);
    else
        return search(x->right, key);
}

template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(T key) 
{
    return search(mRoot, key);
}

/*
 * (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{
    while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
    {
        if (key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    return x;
}

template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(T key)
{
    return iterativeSearch(mRoot, key);
}

/* 
 * 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->left != NULL)
        tree = tree->left;
    return tree;
}

template <class T>
T AVLTree<T>::minimum()
{
    AVLTreeNode<T> *p = minimum(mRoot);
    if (p != NULL)
        return p->key;

    return (T)NULL;
}
 
/* 
 * 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->right != NULL)
        tree = tree->right;
    return tree;
}

template <class T>
T AVLTree<T>::maximum()
{
    AVLTreeNode<T> *p = maximum(mRoot);
    if (p != NULL)
        return p->key;

    return (T)NULL;
}

/*
 * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{
    AVLTreeNode<T>* k1;

    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;
    k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}

/*
 * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
    AVLTreeNode<T>* k2;

    k2 = k1->right;
    k1->right = k2->left;
    k2->left = k1;

    k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;
    k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;

    return k2;
}

/*
 * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{
    k3->left = rightRightRotation(k3->left);

    return leftLeftRotation(k3);
}

/*
 * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
    k1->right = leftLeftRotation(k1->right);

    return rightRightRotation(k1);
}

/* 
 * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 插入的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key)
{
    if (tree == NULL) 
    {
        // 新建节点
        tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);
        if (tree==NULL)
        {
            cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;
            return NULL;
        }
    }
    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
    {
        tree->left = insert(tree->left, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
        {
            if (key < tree->left->key)
                tree = leftLeftRotation(tree);
            else
                tree = leftRightRotation(tree);
        }
    }
    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
    {
        tree->right = insert(tree->right, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
        {
            if (key > tree->right->key)
                tree = rightRightRotation(tree);
            else
                tree = rightLeftRotation(tree);
        }
    }
    else //key == tree->key)
    {
        cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;
    }

    tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;

    return tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::insert(T key)
{
    insert(mRoot, key);
}

/* 
 * 删除结点(z)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     z 待删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z)
{
    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
    if (tree==NULL || z==NULL)
        return NULL;

    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
    {
        tree->left = remove(tree->left, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
        {
            AVLTreeNode<T> *r =  tree->right;
            if (height(r->left) > height(r->right))
                tree = rightLeftRotation(tree);
            else
                tree = rightRightRotation(tree);
        }
    }
    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
    {
        tree->right = remove(tree->right, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
        {
            AVLTreeNode<T> *l =  tree->left;
            if (height(l->right) > height(l->left))
                tree = leftRightRotation(tree);
            else
                tree = leftLeftRotation(tree);
        }
    }
    else    // tree是对应要删除的节点。
    {
        // tree的左右孩子都非空
        if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL))
        {
            if (height(tree->left) > height(tree->right))
            {
                // 如果tree的左子树比右子树高；
                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最大节点。
                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);
                tree->key = max->key;
                tree->left = remove(tree->left, max);
            }
            else
            {
                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最小节点。
                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);
                tree->key = min->key;
                tree->right = remove(tree->right, min);
            }
        }
        else
        {
            AVLTreeNode<T>* tmp = tree;
            tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;
            delete tmp;
        }
    }

    return tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::remove(T key)
{
    AVLTreeNode<T>* z; 

    if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)
        mRoot = remove(mRoot, z);
}

/* 
 * 销毁AVL树
 */
template <class T>
void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &tree)
{
    if (tree==NULL)
        return ;

    if (tree->left != NULL)
        destroy(tree->left);
    if (tree->right != NULL)
        destroy(tree->right);

    delete tree;
}

template <class T>
void AVLTree<T>::destroy()
{
    destroy(mRoot);
}

/*
 * 打印"二叉查找树"
 *
 * key        -- 节点的键值 
 * direction  --  0，表示该节点是根节点;
 *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
 *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
 */
template <class T>
void AVLTree<T>::print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction)
{
    if(tree != NULL)
    {
        if(direction==0)    // tree是根节点
            cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
        else                // tree是分支节点
            cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;

        print(tree->left, tree->key, -1);
        print(tree->right,tree->key,  1);
    }
}

template <class T>
void AVLTree<T>::print()
{
    if (mRoot != NULL)
        print(mRoot, mRoot->key, 0);
}
#endif

函数文件

/**
 * Cpp 语言: AVL树
 *
 * @author skywang
 * @date 2013/11/07
 * test_code 
 */

#include <iostream>
#include "AVLTree.h"
using namespace std;

static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )

int main()
{
    int i,ilen;
    AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>();

    cout << "== 依次添加: ";
    ilen = TBL_SIZE(arr);
    for(i=0; i<ilen; i++)
    {
        cout << arr[i] <<" ";
        tree->insert(arr[i]);
    }

    cout << "\n== 前序遍历: ";
    tree->preOrder();

    cout << "\n== 中序遍历: ";
    tree->inOrder();

    cout << "\n== 后序遍历: ";
    tree->postOrder();
    cout << endl;

    cout << "== 高度: " << tree->height() << endl;
    cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;
    cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;
    cout << "== 树的详细信息: " << endl;
    tree->print();

    i = 8;
    cout << "\n== 删除根节点: " << i;
    tree->remove(i);

    cout << "\n== 高度: " << tree->height() ;
    cout << "\n== 中序遍历: " ;
    tree->inOrder();
    cout << "\n== 树的详细信息: " << endl;
    tree->print();

    // 销毁二叉树
    tree->destroy();

    return 0;
}