费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1（a和p互质），那么 a^(p-1) ≡ 1（mod p），即 ( a^(p-1) )%p = 1。

• 可以用这个定理快速求得一个大数的余数。例如：

\(欲求：2^{100}\ \%\ 13=\ ?\)
\(因为2与13互质，故根据费马小定理有：2^{13-1}\equiv1(mod\ 13)\)
\(即：2^{12}\ \%\ 13 = 1\)
\(又：2^{100}=(2^{12})^{8}*2^4\)
\(所以，2^{100}\ \%\ 13=(2^{12})^{8}*2^4\ \%\ 13=((2^{12})^{8}\ \%\ 13)*(2^4\ \%\ 13)\ \%\ 13=((2^{12}\ \%\ 13)^8\ \%\ 13)*(3)\ \%\ 13=3\)

• 求逆元(通过快速幂使得复杂度在\(O(log)\))：

inv(LL a, LL p) {  //a关于p的逆元
  return qpow(a, p-2, p);
}

• 关于费马小定理的拓展就是欧拉定理了，其中前置技能是欧拉函数（线性筛求解），可以解决各种同模问题。

• 关于逆元的求法还有公式变形法(递归、递推)以及拓展欧几里得算法(证明是将二项的不定方程分别mod A以及mod B化简)

关于求逆元公式法的证明：
设x = p % a,y = p / a
则 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
所以 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

部分代码实现:

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL exgcd(LL A, LL B, LL &x, LL &y) {
  if (B == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return A;
  }
  LL gcdnum = exgcd(B, A % B, x, y);
  LL tmp = y;
  y = x - A/B*y; //算上来的x,y计算出新的x,y
  x = tmp;
  return gcdnum;
}

LL qmul(LL a, LL b, LL mod) {
  LL ans = 0;
  a %= mod;
  while (b) {
    if (b&1) {
      ans = (ans + a) % mod;
    }
    a = (a << 1) % mod;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

LL qpow(LL a, LL b, LL mod) {
  LL ans = 1;
  a %= mod;
  while (b) {
    if (b & 1) {
      ans = qmul(ans, a, mod);
    }
    a = qmul(a, a, mod);
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

//法一：费马小定理
LL inv_1(LL a, LL p) {  //a关于p的逆元
  return qpow(a, p-2, p);
}

//法二：拓展欧几里得
LL inv_2(LL a, LL p) {
  LL x, y;
  if (exgcd(a, p, x, y) != 1) return -1; //不满足a p 互质
  return (x % p + p) % p; //变为正的
}

//法三
LL inv_3(LL a, LL p) {
  //求a关于p的逆元，注意:a要小于p，最好传参前先把a%p一下
  return a == 1 ? 1 : (p - p / a) * inv_3(p % a, p) % p;
}

const int maxn = (int)2e5 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[maxn];
void inv_4(){ //法三递推版 O(n)
  inv[1] = 1;
  for(int i = 2; i < maxn; i ++){
      inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
  }
}

int main() {
  cout << "inv_1 : " << inv_1(100, MOD) << endl;
  cout << "inv_2 : " << inv_2(100, MOD) << endl;
  cout << "inv_3 : " << inv_3(100, MOD) << endl;
  inv_4();
  cout << "inv_4 : " << inv[100] << endl;
  return 0;
}