2019-07-24 17:51 已编辑郑州大学后端

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计算几何基础--线段的性质

线段的计算。也是计算几何的基础之一。判断两线段相交，求交点，等都是必不可少的内容。

常用的解析几何方法使用三角函数和除法，使得计算的代价较高&&容易产生较大的误差。如计算两条近似平行的直线y=kx+b，的交点，涉及到了除法运算。那么对计算机的精确度要求就非常高了。因此如果能够在计算的时候，只涉及到+，-，*，〉，〈，等简单的运算，那么产生的误差就会非常小，而且算法简捷，高效。

判断两线段相交：

如何判断两直线相交。分两步判断，分别是：1.快速排斥实验。2.跨立实验。注意，这里是两步，不是两种方法。第一步不符合直接就不符合了。无需进行第二步实验。

1.快速排斥实验：判断两直线为所在的矩形的对角线的两个矩形是否相交。

2.跨立实验：如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。

跨立实验的判断：

如图所示的点。如果相交，则必定存在向量(B1,A1)和向量(B1,A2)在向量(B1,B2)的两侧。

即：（（B1，A1）叉乘（B1，B2））*（（B1，A2）叉乘（B1，B2））<0

另：（B1，A1）叉乘（B1，B2）==0，说明A1在线段（B1，B2）上；

同理：（B1，A2）叉乘（B1，B2）==0，说明A2在线段（B1，B2）上。

所以有两线段相交，存在：（（B1，A1）叉乘（B1，B2））*（（B1，A2）叉乘（B1，B2））<=0

那么，因为向量的叉积是矢量，因此存在两种判定方法，即：（A1，A2）跨立（B1，B2）和（B1，B2）跨立（A1，A2）。

具体情况分类讨论即可。

Code：

int LineInter(V l1,V l2){
	if(max(l1.start.x,l1.end.x)>=min(l2.start.x,l2.end.x)&&
	max(l2.start.x,l2.end.x)>=min(l1.start.x,l1.end.x)&&
	max(l1.start.y,l1.end.y)>=min(l2.start.y,l2.end.y)&&
	max(l2.start.y,l2.end.y)>=min(l1.start.y,l1.end.y)){
		if(CroMul(l2,V(l2.start,l1.start))*CroMul(l2,V(l2.start,l1.end))<=0&&
		CroMul(l1,V(l1.start,l2.start))*CroMul(l1,V(l1.start,l2.end))<=0){
			return 1;
		}
	}return 0;
}

后来习惯直接重载^后用点来当向量进行叉乘，写一个^叉乘代码：

struct Point{
	double x,y;
	Point(double _x=0,double _y=0){
		x=_x;y=_y;
	}
	friend Point operator - (const Point &a,const Point &b){
		return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
	}
	friend double operator ^ (const Point &a,const Point &b){
		return a.x*b.y-a.y*b.x;
	}
};
struct V{
	Point start,end;
	V(Point _start=Point(0,0),Point _end=Point(0,0)){
		start=_start;end=_end;
	}
};

int LineInter(V l1,V l2){
	if(max(l1.start.x,l1.end.x)>=min(l2.start.x,l2.end.x)&&
	max(l2.start.x,l2.end.x)>=min(l1.start.x,l1.end.x)&&
	max(l1.start.y,l1.end.y)>=min(l2.start.y,l2.end.y)&&
	max(l2.start.y,l2.end.y)>=min(l1.start.y,l1.end.y)){
		if(((l2.end-l2.start)^(l1.start-l2.start))*((l2.end-l2.start)^(l1.end-l2.start))<=0&&
		((l1.end-l1.start)^(l2.start-l1.start))*((l1.end-l1.start)^(l2.end-l1.start))<=0)
			return 1;
	}return 0;
}

OJ测试：51nod-1264-线段相交（板子）复制粘贴，直接A。

题目链接：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1264

POJ-1127-Jack Straws（线段相交+联通）

题目链接：http://poj.org/problem?id=1127

题目大意：给出一些线段，相交的线段之间能够联通。然后每输入两个线段，判断这两个线段之间有没有关系。

思路：判断线段相交，然后Floyd联通。

ACCode：

// luogu-judger-enable-o2
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
  
#include<stdio.h>
#include<string.h> 
#include<math.h> 
   
//#include<map>  
#include<set>
#include<deque> 
#include<queue> 
#include<stack> 
#include<bitset>
#include<string> 
#include<fstream>
#include<iostream> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
  
#define ll long long 
#define Pair pair<int,int>
//#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
//#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define clean(a,b) memset(a,b,sizeof(a))// 水印
//std::ios::sync_with_stdio(false);
//  register
const int MAXN=1e2+10;
const int INF32=0x3f3f3f3f;
const ll INF64=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD=998244353;
const double PI=acos(-1.0);
const double EPS=1.0e-12;
 
struct Point{//点的表示 
	double x,y;
	Point(double _x=0,double _y=0){
		x=_x;y=_y;
	}
	friend Point operator + (const Point &a,const Point &b){
		return Point(a.x+b.x,a.y+b.y); 
	}
	friend Point operator - (const Point &a,const Point &b){
		return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
	}
	friend Point operator == (const Point &a,const Point &b){
		return fabs(a.x-b.x)<EPS&&fabs(a.y-b.y)<EPS;
	}
}convex[MAXN];
struct V{//向量的表示 
	Point start,end;
	double ang;//角度，[-180,180] 
	V(Point _start=Point(0,0),Point _end=Point(0,0),double _ang=0){
		start=_start;end=_end;ang=_ang;
	}
	friend V operator + (const V &a,const V &b){
		return V(a.start+b.start,a.end+b.end);
	}
	friend V operator - (const V &a,const V &b){
		return V(a.start-b.start,a.end-b.end);
	} 
}Edge[MAXN],st[MAXN];
struct Triangle{
	Point A,B,C;
};
int n,ccnt;
 
double DotMul(V a,V b){//点积 
	a.end=a.end-a.start;b.end=b.end-b.start;
	return a.end.x*b.end.x+a.end.y*b.end.y;
}
double CroMul(V a,V b){//叉积 a×b 
	a.end=a.end-a.start;b.end=b.end-b.start;
	return a.end.x*b.end.y-b.end.x*a.end.y;
}
int IsLineInter(V l1,V l2){//相交 
	if(max(l1.start.x,l1.end.x)>=min(l2.start.x,l2.end.x)&&
	max(l2.start.x,l2.end.x)>=min(l1.start.x,l1.end.x)&&
	max(l1.start.y,l1.end.y)>=min(l2.start.y,l2.end.y)&&
	max(l2.start.y,l2.end.y)>=min(l1.start.y,l1.end.y)){
		if(CroMul(l2,V(l2.start,l1.start))*CroMul(l2,V(l2.start,l1.end))<=0&&
		CroMul(l1,V(l1.start,l2.start))*CroMul(l1,V(l1.start,l2.end))<=0){
			return 1;
		}
	}return 0;
}
int mp[MAXN][MAXN];

void intt(){
	clean(mp,0);
}
int main(){
	while(~scanf("%d",&n)){
		if(n==0) break;
		intt();
		for(int i=1;i<=n;++i){
			scanf("%lf%lf%lf%lf",&Edge[i].start.x,&Edge[i].start.y,&Edge[i].end.x,&Edge[i].end.y);
		}
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=n;++j){
				if(IsLineInter(Edge[i],Edge[j])){
					mp[i][j]=mp[j][i]=1;
				}
			}
		}
		for(int k=1;k<=n;++k){
			for(int i=1;i<=n;++i){
				for(int j=1;j<=n;++j){
					if(mp[i][k]&&mp[k][j]) mp[i][j]=mp[j][i]=1;
				}
			}
		}
		int a,b;
		while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
			if(a==0&&b==0) break;
			if(mp[a][b]) printf("CONNECTED\n");
			else printf("NOT CONNECTED\n");
		}
	}
}

求线段交点：

若已知两线段相交，可以用解析几何的方法计算求得交点，这时其运算时可靠的，误差也可以降低到可接受的程度。不过，这样没有利用我们在判断相交时计算出的叉积，造成了运算上的重复和浪费。

如图所示，我们用向量+相似，来解决P点的问题。

首先补全多边形ABCD，向量叉积可以当作面积。

Code:

Point* LineInterDot(V l1,V l2){
	Point p;
	if(IsLineInter(l1,l2)){
		p.x=(CroMul(l1,V(l1.start,l2.start))*l2.end.x-
		CroMul(l1,V(l1.start,l2.end))*l2.start.x)/
		(CroMul(l1,V(l1.start,l2.start))+CroMul(l1,V(l1.start,l2.end)));
		
		p.y=(CroMul(l1,V(l1.start,l2.start))*l2.end.y-
		CroMul(l1,V(l1.start,l2.end))*l2.start.y)/
		(CroMul(l1,V(l1.start,l2.start))+CroMul(l1,V(l1.start,l2.end)));
		return &p;
	}return NULL;
}

补充：上面的代码明显较为复杂，容易出错。观察发现，好多变量是重复出现的，因此我们可以用一个变量来代替他们：

New Code：

Point LineInterDot(V l1,V l2){//交点 
	Point p;
	double S1=CroMul(V(l1.start,l2.end),V(l1.start,l2.start));
	double S2=CroMul(V(l1.end,l2.start),V(l1.end,l2.end));
	p.x=(l1.start.x*S2+l1.end.x*S1)/(S1+S2);
	p.y=(l1.start.y*S2+l1.end.y*S1)/(S1+S2);
	return p;
}

叉乘的板子：


Point LineInterDot(const V &l1,const V &l2){
	Point p;
	double S1=(l2.end-l1.start)^(l2.start-l1.start);
	double S2=(l2.start-l1.end)^(l2.end-l1.end);
	p.x=(l1.start.x*S2+l1.end.x*S1)/(S1+S2);
	p.y=(l1.start.y*S2+l1.end.y*S1)/(S1+S2);
	return p;
}

求直线交点：

利用叉积进行求取直线交点（前提：已经确定两直线相交，（两直线不平行））

Code：

Point LineInterDot(const V &l1,const V &l2){
	Point p=l1.start;
	double res=((l1.start-l2.start)^(l2.start-l2.end));
	res/=((l1.start-l1.end)^(l2.start-l2.end));
	p.x+=(l1.end.x-l1.start.x)*res;
	p.y+=(l1.end.y-l1.start.y)*res;
	return p;
}

判断两直线平行：

使用叉乘进行直接判断。

Code：


int Parellel(const V &x,const V &y){
	return fabs((x.end-x.start)^(y.end-y.start))<EPS;
}

判断一组线段相交的情况：

对于一组直线，判断这一组直线中是否存在相交的直线。

使用扫描线的方法，通过一根垂直扫描线，用其扫描结果发生的变化，来确定相交点。

假设线段中不存在与垂直扫描线相平行的线段，也没有三条线相交于一点。

处理：

1.首先将所有线段端点按x坐标从小到大进行排序，x相等的，y小的放前面。得到集合S。

2.取S中的一个端点P。若P是线段s的左端点，则将其插入序列T中，否则将其从序列中删除。

代码里面有注释。

伪代码：

int Intersect_Polygon(Polygon Pn){
	EventQueue Eq(Pn);//顶点队列 
	SweepLine SL(Pn);//扫描线链表 
	Point e;//当前顶点 
	SLseg *s;//当前线段 
	Point singlepoint;//准备求得的交点 
	PointList PL;//所有求得的交点保存其中 
	while(Eq!=empty){//循环，队列为空 
		e=Eq->next();//获得开头顶点元素 
		if(e->type==left){
		//当为线段的开始顶点时 
			s=SL.add(e);//增加此顶点所属的线段到扫描线链表中 
			if(SL.intersect(s,s->above,singlepoint)){
			//判断此顶点所属的线段与处于其上的线段是否相交 
				Eq->insert(singlepoint);//插入交点到顶点队列中 
				SL.intersect(s,s->above,singlepoint);
				//在扫描线链表中记录此交点的上下线段 
			}
			if(SL.intersect(s,s->below,singlepoint)){
			//
				Eq->insert(singlepoint);//插入交点到顶点队列中 
			}
		}
		else if(e->type==right){
		//当前顶点为线段的结束顶点 
			s=SL.find(e);//从扫描线链表中找到此顶点所属的线段 
			if(SL.intersect(s->above,s->below,singlepoint)){
			//判断此线段的上下两相邻线段是否相交 
				if(Eq->find(singlepoint)==false){
				//如果求得的交点不在顶点队列中 
					Eq->insert(singlepoint);//插入这个新得到的交点到顶点队列中 
					SL.remove(s);//从扫描线链表中移走此顶点所属的线段 
				}
			}
		}
		else{//当 是交点 
			PL.add(e);//保存结果到最后的输出集合中 
			SLseg* sE1=Sl.findrecord(e,ABOVE);//得到此交点在扫描线链表中的第一条线段 
			SLseg* sE2=SL.findrecord(e,BELOW);//得到此交点在扫描线链表中的第二条线段 
			SL.swap(sE1,sE2);//交换两条线段在链表中的位置，从几何上看：通过顶点后两条线段的上下位置关系交换 
			if(SL.intersect(sE2,sE2->above,singlepoint)){
			//判断新的上下两相邻线段是否相交 
				if(Eq->find(singlepoint)==false){
				//如果求得的交点还不存在于顶点队列中 
					Eq->insert(sE1,sE1->below,singlepoint);//插入这个新求出交点到顶点队列中 
				}
			}
			if(SL.intersect(sE1,sE1->below,singlepoint)){
			//判断新的上下两相邻线段是否相交 
				if(Eq->find(singlepoint)==false){
				//如果求得的这个交点还不存在于顶点队列中 
					Eq->insert(singlepoint);//插入这个新求出的交点到顶点队列中 
				}
			}
		}Eq->remove(e);//元素处理完毕，将其弹出 
	}return 1;
}