FFT （快速傅里叶变换）

FFT

FFT的全称是 Fast Fourier Transform 即快速傅里叶变换

傅里叶变换是复变函数的重要内容，傅里叶变换分为离散和连续傅里叶变换
傅里叶变换实现从时域到频域的转换，是信号与系统重要的分析工具

连续傅里叶变换

![此处输入图片的描述][1]

离散傅里叶变换(DFT discrete Fourier transform)

将离散的序列值进行频域到时域的转换，就叫做离散傅里叶变换
如果有
$x (n) = {\begin{matrix} <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> x_{N} (n) </mstyle> & <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> 0 < = n < = N - 1 </mstyle> \\ <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> 0 </mstyle> & <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> n 为其余值 </mstyle> \end{matrix}$
离散傅里叶变换DFT
$X (k) = D F T [x (n)] = <munderover> \sum n = 0 n = N - 1 </munderover> x (n) * W_{N}^{k n} (W_{N} = e^{- j 2 π / N})$
即是 $ X(k)= x_0 + x_1(W_N^k)1 + x_2(W_N^k)2+…+ x_{N-1}(W_N^k){N-1}$
离散傅里叶逆变换IDFT
$x (n) = I D F T [X (k)] = \frac{1}{N} <munderover> \sum n = 0 k = N - 1 </munderover> X (k) * W_{N}^{- k n}$
DFT 矩阵形式

FFT

FFT 不是一种新的变换，只是DFT的快速实现的一种方法！！
FFT 要求 $N = 2^{k}$ ，所以不足2的幂次数的要补零
####已知

$W_{N}^{2 * k} = e^{- \frac{j 2 π}{N} * 2 k} = e^{- \frac{j 2 π}{N / 2} * k} = W_{N / 2}^{k} (1)$
$W_{N}^{k + N / 2} = e^{- \frac{j 2 π}{N} * (k + N / 2)} = - e^{- \frac{j 2 π}{N} * (k)} (2)$

FFT 具体方法

$X (k) = x_{0} + x_{1} (W_{N}^{k})^{1} + x_{2} (W_{N}^{k})^{2} + . . . + x_{N - 1} (W_{N}^{k})^{N - 1}$
进行奇偶分离
$X (k) = x_{0} + x_{2} (W_{N}^{k})^{2} + . . . x_{N - 2} (W_{N}^{k})^{N - 2} + x_{1} (W_{N}^{k})^{1} + x_{3} (W_{N}^{k})^{3} + . . . + x_{N - 1} (W_{N}^{k})^{N - 1}$

$= x_{0} + x_{2} (W_{N / 2}^{k})^{1} + . . . + x_{N - 2} * (W_{N / 2}^{k})^{N / 2 - 1}$
$+ W^{k} (x_{1} + x_{3} * (W_{N / 2}^{k})_{+}^{1} x_{N - 1} * (W_{N / 2}^{k})^{N / 2 - 1})$
令 $A_{0} (x) = x_{0} + x_{2} (x)^{1} + . . . + x_{N - 2} * (x)^{N / 2 - 1}$
$A_{1} (x) = x_{1} + x_{3} * (x)_{+}^{1} x_{N - 1} * (x)^{N / 2 - 1}$
$X (k) = A_{0} (W_{N / 2}^{k}) + W^{k} A_{1} (W_{N / 2}^{k}) (3)$

同理得 $X (k + N / 2) = A_{0} (W_{N / 2}^{k}) - W^{k} A_{1} (W_{N / 2}^{k}) (4)$
于是现在从求 $X (0), X (1), . . ., X (N - 1)$
变成了求 $A_{0} (0), A_{0} (1), . . ., A_{0} (N / 2 - 1)$
和 $A_{1} (0), A_{1} (1), . . ., A_{1} (N / 2 - 1)$

这样利用分治的思想，复杂度是 $n l o g (n)$
递归实现比较麻烦，而且需要额外申请空间，就不再详细介绍了，所以一般采用bit反转来实现
递归分组的时候
$<munder accentunder="true"> x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) ‾ </munder>$
$<munder accentunder="true"> x (0) x (2) x (4) x (6) ‾ </munder> ∣ <munder accentunder="true"> x (1) x (3) x (5) x (7) ‾ </munder>$
$<munder accentunder="true"> x (0) x (4) ‾ </munder> ∣ <munder accentunder="true"> x (2) x (6) ‾ </munder> ∣ <munder accentunder="true"> x (1) x (5) ‾ </munder> ∣ <munder accentunder="true"> x (3) x (7) ‾ </munder>$

发现规律

FFT算法步骤

bit反转
分治
合并

IDFT 的时候只需要把$W $换成 $W^{- 1}$ 就ok了

下面是模板

模板

// 刘汝佳的板子 调用的时候直接 v1*v2 就行了， v1 和 v2 的类型是vector<double>
// 也可以自己修改 

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(ar,num) memset(ar,num,sizeof(ar))
#define me(ar) memset(ar,0,sizeof(ar))
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int    prime = 999983;
const int    INF = 0x7FFFFFFF;
const LL     INFF =0x7FFFFFFFFFFFFFFF;
//const double pi = acos(-1.0);
const double inf = 1e18;
const double eps = 1e-6;
const LL     mod = 1e9 + 7;
int dr[2][4] = {1,-1,0,0,0,0,-1,1};
// UVa12298 Super Poker II
// Rujia Liu

const long double PI = acos(0.0) * 2.0;

typedef complex<double> CD;

// Cooley-Tukey的FFT算法，迭代实现。inverse = false时计算逆FFT
inline void FFT(vector<CD> &a, bool inverse) {
  int n = a.size();
  // 原地快速bit reversal
  for(int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
    if(j > i) swap(a[i], a[j]);
    int k = n;
    while(j & (k >>= 1)) j &= ~k;
    j |= k;
  }

  double pi = inverse ? -PI : PI;
  for(int step = 1; step < n; step <<= 1) {
    // 把每相邻两个“step点DFT”通过一系列蝴蝶操作合并为一个“2*step点DFT”
    double alpha = pi / step;
    // 为求高效，我们并不是依次执行各个完整的DFT合并，而是枚举下标k
    // 对于一个下标k，执行所有DFT合并中该下标对应的蝴蝶操作，即通过E[k]和O[k]计算X[k]
    // 蝴蝶操作参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_diagram
    for(int k = 0; k < step; k++) {
      // 计算omega^k. 这个方法效率低，但如果用每次乘omega的方法递推会有精度问题。
      // 有更快更精确的递推方法，为了清晰起见这里略去
      CD omegak = exp(CD(0, alpha*k)); 
      for(int Ek = k; Ek < n; Ek += step << 1) { // Ek是某次DFT合并中E[k]在原始序列中的下标
        int Ok = Ek + step; // Ok是该DFT合并中O[k]在原始序列中的下标
        CD t = omegak * a[Ok]; // 蝴蝶操作：x1 * omega^k
        a[Ok] = a[Ek] - t;  // 蝴蝶操作：y1 = x0 - t
        a[Ek] += t;         // 蝴蝶操作：y0 = x0 + t
      }
    }
  }

  if(inverse)
    for(int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n;
}

// 用FFT实现的快速多项式乘法
inline vector<double> operator * (const vector<double>& v1, const vector<double>& v2) {
  int s1 = v1.size(), s2 = v2.size(), S = 2;
  while(S < s1 + s2) S <<= 1;
  vector<CD> a(S,0), b(S,0); // 把FFT的输入长度补成2的幂，不小于v1和v2的长度之和
  for(int i = 0; i < s1; i++) a[i] = v1[i];
  FFT(a, false);
  for(int i = 0; i < s2; i++) b[i] = v2[i];
  FFT(b, false);
  for(int i = 0; i < S; i++) a[i] *= b[i];
  FFT(a, true);
  vector<double> res(s1 + s2 - 1);
  for(int i = 0; i < s1 + s2 - 1; i++) res[i] = a[i].real(); // 虚部均为0
  return res;
}


//kuangbin 的板子,需要一些处理才能用
// 1 首先补成2^n 的形式，然后传入复数
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);
struct complex
{
    double r,i;
    complex(double _r = 0,double _i = 0)
    {
        r = _r; i = _i;
    }
    complex operator +(const complex &b)
    {
        return complex(r+b.r,i+b.i);
    }
    complex operator -(const complex &b)
    {
        return complex(r-b.r,i-b.i);
    }
    complex operator *(const complex &b)
    {
        return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
    }
};
void change(complex y[],int len)
{
    int i,j,k;
    for(i = 1, j = len/2;i < len-1;i++)
    {
        if(i < j)swap(y[i],y[j]);
        k = len/2;
        while( j >= k)
        {
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if(j < k)j += k;
    }
}
void fft(complex y[],int len,int on)
{
    change(y,len);
    for(int h = 2;h <= len;h <<= 1)
    {
        complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j = 0;j < len;j += h)
        {
            complex w(1,0);
            for(int k = j;k < j+h/2;k++)
            {
                complex u = y[k];
                complex t = w*y[k+h/2];
                y[k] = u+t;
                y[k+h/2] = u-t;
                w = w*wn;
            }
        }
    }
    if(on == -1)
        for(int i = 0;i < len;i++)
            y[i].r /= len;
}

const int MAXN = 400040;
complex x1[MAXN];
int a[MAXN/4];
long long num[MAXN];//100000*100000会超int
long long sum[MAXN];

int main()
{
    int T;
    int n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            num[a[i]]++;
        }
        sort(a,a+n);
        int len1 = a[n-1]+1;
        int len = 1;
        while( len < 2*len1 )len <<= 1;
        for(int i = 0;i < len1;i++)
            x1[i] = complex(num[i],0);
        for(int i = len1;i < len;i++)
            x1[i] = complex(0,0);
        fft(x1,len,1);
        for(int i = 0;i < len;i++)
            x1[i] = x1[i]*x1[i];
        fft(x1,len,-1);
        for(int i = 0;i < len;i++)
            num[i] = (long long)(x1[i].r+0.5);
        len = 2*a[n-1];
        //减掉取两个相同的组合
        for(int i = 0;i < n;i++)
            num[a[i]+a[i]]--;
        //选择的无序，除以2
        for(int i = 1;i <= len;i++)
        {
            num[i]/=2;
        }
        sum[0] = 0;
        for(int i = 1;i <= len;i++)
            sum[i] = sum[i-1]+num[i];
        long long cnt = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            cnt += sum[len]-sum[a[i]];
            //减掉一个取大，一个取小的
            cnt -= (long long)(n-1-i)*i;
            //减掉一个取本身，另外一个取其它
            cnt -= (n-1);
            //减掉大于它的取两个的组合
            cnt -= (long long)(n-1-i)*(n-i-2)/2;
        }
        //总数
        long long tot = (long long)n*(n-1)*(n-2)/6;
        printf("%.7lf\n",(double)cnt/tot);
    }
    return 0;
}

  [1]: https://ss1.baidu.com/6ONXsjip0QIZ8tyhnq/it/u=3356269930,1126074676&fm=58
  [2]: https://img-blog.csdn.net/20171205133619162?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvYTQ5MzgyMzg4Mg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center
  [3]: https://upload-images.jianshu.io/upload_images/9187198-4be4915dd66462ab.jpg?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/204
  
  
  
 #### FFT 题目总结
  1. [模板题](http://uoj.ac/problem/34)
  2 [Emma and sum of products](https://www.hackerrank.com/challenges/emma-and-sum-of-products/problem)（简单模板题）
 
  3 [Another Fibonacci ](https://www.codechef.com/problems/MOREFB#)（建议配合题解食用较好）
  4 [D. Fuzzy Search](http://codeforces.com/problemset/problem/528/D) 
 5. [ Rock Paper Scissors Lizard Spock.](https://nanti.jisuanke.com/t/26219)(FFT与字符串匹配模板题)
 6. [D - Rock Paper Scissors ](https://vjudge.net/contest/229017#problem/D)(FFT 与字符串)