不平等博弈

ACM博弈 - I 平等博弈 SG函数的证明
有助于不平等博弈学习的资料

1. 博客 https://blog.csdn.net/wozaipermanent/article/details/81559438
2. 杜教主的ppt讲稿 sureal number;

贪心博弈

例1. Alice’s Game HDU - 3544

题意：

 给n块巧克力，第i块是 $n_i\ast m_i$ni​∗mi​，Alice只能垂直切，切成 $A\ast m和B\ast m$A∗m和B∗m,并且 $A+B=n$A+B=n,Bob只能横切，只能切成 $A\ast n和B\ast n$A∗n和B∗n，并且 $A+B=m$A+B=m

分析：

语言表达能力有限

我们采取 $HP(n,m)$HP(n,m)表示 $n\ast m$n∗m的矩形对Alice的可切割次数的贡献,负数代表对Bob的贡献，如果所有 $\sum H{P}_i\&gt;0$∑HPi​>0 ，Alice必赢， $\sum H{P}_i\&lt;=0$∑HPi​<=0，Bob(必赢)
对于HP(i,j) 的计算我们有如下法则
1. $n\ast 1$n∗1 的矩形贡献为n-1
2. $1\ast m$1∗m 的矩形贡献为-(m-1)
3. $2\ast 2,3\ast 3,4\ast \mathrm{4..}n\ast n$2∗2,3∗3,4∗4..n∗n的矩形对HP的贡献为零，因为如果你首先下手切，都会给对手更多的机会，如果你能赢，你不会切这个，如果你输，那么切了这个你还会输。
4. 对于 $2\ast 3,3\ast 2,5\ast \mathrm{4...},$2∗3,3∗2,5∗4...,的矩阵来说与3的状况相同，对答案的贡献都是0，首先下手都会给对手更多的机会
5. 贡献为零的有什么规律呢，我们发现原来是它们是 $2^k\&lt;=n\&lt;2^{k+1}$2k<=n<2k+1&& $2^k\&lt;=m\&lt;2^{k+1}$2k<=m<2k+1
6. $n\ast 2$n∗2 的矩形对于Alice来说有贡献，我们每一次可以选择都切成 $2\ast 2,3\ast 2$2∗2,3∗2的矩形，这样不会给对手机会，自己还可以增加一次切的机会，Bob也不会傻到切这个矩形，这样会给Alice更多机会,所以 $n\ast 2$n∗2的矩形，Alice 可以切 $n/2-1$n/2−1 次
这个时候可以总结一下规律：

1. 我们每一次切,都会切成 $HP(i,m)=0,HP(n-i,m)\&gt;=0$HP(i,m)=0,HP(n−i,m)>=0的 两块， $HP(n,m)=HP(n-i,m)+1$HP(n,m)=HP(n−i,m)+1，递归下去 $HP(n-i-j,m)=HP(n-i-j,m)+1$HP(n−i−j,m)=HP(n−i−j,m)+1,直到 $HP(n-i-j....,m)=0$HP(n−i−j....,m)=0,这怎么计算呢
2. 我们知道 $HP(n,m)=0$HP(n,m)=0 当且仅当 $2^k\&lt;=n\&lt;2^{k+1}$2k<=n<2k+1&& $2^k\&lt;=m\&lt;2^{k+1}$2k<=m<2k+1
3. 那么就有 $HP(n,m)=n/\left(2^k\right)-1$HP(n,m)=n/(2k)−1

代码看具体博客

HDU3544

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