最长不下降子序列问题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2766

题解：网络流+最大流+DP

首先动态规划求出F[i]，表示以第i位为开头的最长上升序列的长度，求出最长上升序列长度K。

1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>，从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。

2、建立附加源S和汇T，如果序列第i位有F[i]=K，从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。

3、如果F[i]=1，从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。

4、如果j>i且A[i] < A[j]且F[j]+1=F[i]，从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。

求网络最大流，就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大，再求一次网络最大流，就是第三问结果。

上述建模方法是应用了一种分层图的思想，把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层，这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。

由于序列中每个点要不可重复地取出，需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数，所以最大流量就是第二问结果。

第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用，只需取消这两个点相关边的流量限制，求网络最大流即可。

/*
*@Author:   STZG
*@Language: C++
*/
#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<list>
#include<map>
#include<set>
//#define DEBUG
#define RI register int
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
//typedef __int128 lll;
const int N=1000+10;
const int M=100000+10;
const int MOD=1e9+7;
const double PI = acos(-1.0);
const double EXP = 1E-8;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int s,t,n,m,k,p,l,r,u,v;
int ans,cnt,flag,temp,sum,maxflow,len;
int a[N];
int dis[N];
int dp[N];
struct node{
    int u,v;
    ll c;
    node(){};
    node(int u,int v,ll cap):u(u),v(v),c(cap){}
};
vector<node>edge;
vector<int>G[N];
void Addedge(int u,int v,ll cap){
    edge.push_back({u,v,cap});
    edge.push_back({v,u,0});
    int sz=edge.size();
    G[u].push_back(sz-2);
    G[v].push_back(sz-1);
}
bool bfs(int u){
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    dis[u]=0;
    queue<int>q;
    q.push(u);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0,j=G[u].size();i<j;i++){
            node e=edge[G[u][i]];
            if(dis[e.v]<0&&e.c>0){
                dis[e.v]=dis[u]+1;
                q.push(e.v);
            }
        }
    }
    return dis[t]>0;
}
ll dfs(int u,ll flow){
    if(u==t){
        return flow;
    }
    ll now;
    for(int i=0,j=G[u].size();i<j;i++){
        node e=edge[G[u][i]];
        if(e.c>0&&dis[e.v]==dis[u]+1&&(now=dfs(e.v,min(flow,e.c)))){
            edge[G[u][i]].c-=now;
            edge[G[u][i]^1].c+=now;
            return now;
        }
    }
    return 0;
}
void dinic(){
    ll res;
    while(bfs(s)){
        while((res=dfs(s,INF))){
            ans+=res;
        }
    }
}
void init(){
    s=0;
    t=2*n+1;
    edge.clear();
    for(int i=s;i<=t;i++)G[i].clear();
    ans=0;
    maxflow=0;
    len=0;
}
int main()
{
#ifdef DEBUG
	freopen("input.in", "r", stdin);
	//freopen("output.out", "w", stdout);
#endif
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin.tie(0);
    //cout.tie(0);
    //scanf("%d",&t);
    //while(t--){
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            dp[i]=1;
        }
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<i;j++)if(a[j]<=a[i])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        for(int i=1;i<=n;i++)len=max(len,dp[i]);
        cout<<len<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++)if(dp[i]==1)Addedge(s,i,1);
        for(int i=1;i<=n;i++)if(dp[i]==len)Addedge(i+n,t,1);
        for(int i=1;i<=n;i++)Addedge(i,i+n,1);
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<i;j++)if(a[j]<=a[i]&&dp[j]+1==dp[i])Addedge(j+n,i,1);
        dinic();
        cout<<ans<<endl;
        Addedge(1,1+n,INF);Addedge(s,1,INF);
        if(dp[n]==len)Addedge(n,n*2,INF),Addedge(n*2,t,INF);
        dinic();
        cout<<ans<<endl;
    }

    //}

#ifdef DEBUG
	printf("Time cost : %lf s\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);
#endif
    //cout << "Hello world!" << endl;
    return 0;
}