参考答案

在维恩图中：

S：S是样本空间，是所有可能事件的总和。

P(A)：是样本空间S中A事件发生的概率，维恩图中绿色的部分。

P(B)：是样本空间S中B事件发生的概率，维恩图中蓝色的部分。

P(A∩B)：是样本空间S中A事件和B事件同时发生的概率，也就是A和B相交的区域。

P(A|B)：是条件概率，是B事件已经发生时A事件发生的概率。

对于条件概率，还有一种更清晰的表示方式叫概率树。下面的概率树表示了条件概率P(A|B)。与维恩图中的P(A∩B)相比，可以发现两者明显的区别。P(A∩B)是事件A和事件B同时发现的情况，因此是两者相交区域的概率。而事件概率P(A|B)是事件B发生时事件A发生的概率。这里有一个先决条件就是P(B)要首先发生。

因为条件概率P(A|B)是在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率，因此P(A|B)可以表示为事件A与B的交集与事件B的比率。

该公式还可以转换为以下形式，以便我们下面进行贝叶斯公式计算时使用。

2.贝叶斯公式：

贝叶斯算法通过已知的P(A|B)，P(A),和P(B)三个概率计算P(B|A)发生的概率。假设我们现在已知P(A|B)，P(A)和P(B)三个概率，如何计算P(B|A)呢？通过前面的概率树及P(A|B)的概率可知，P(B|A)的概率是在事件A发生的前提下事件B发生的概率，因此P(B|A)可以表示为事件B与事件A的交集与事件A的比率。

该公式同样可以转化为以下形式：

到这一步，我们只需要证明P(A∩B)= P(B∩A)就可以证明在已知P(A|B)的情况下可以通过计算获得P(B|A)的概率。我们将概率树转化为下面的概率表，分别列出P(A|B),P(B|A),P(A),和P(B)的概率。

通过计算可以证明P(A|B)*P(B)和P(B|A)*P(A)最后求得的结果是概率表中的同一个区域的值，因此：

我们通过P(A∩B)= P(B∩A)证明了在已知P(A|B)，P(A),和P(B)三个概率的情况下可以计算出P(B|A)发生的概率。整个推导和计算过程可以说得通。但从统计学的角度来看，P(A|B)和P(B|A)两个条件概率之间存在怎样的关系呢？我们从贝叶斯推断里可以找到答案。

3.贝叶斯推断：

贝叶斯推断可以说明贝叶斯定理中两个条件概率之间的关系。换句话说就是我们为什么可以通过P(A|B)，P(A),和P(B)三个概率计算出P(B|A)发生的概率。

在贝叶斯推断中，每一种概率都有一个特定的名字：

P(B)是”先验概率”(Prior probability)。

P(A)是”先验概率”(Prior probability)，也作标准化常量(normalized constant)。

P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，叫做似然函数(likelihood)。

P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，是我们要求的值，叫做后验概率。

P(A|B)/P(A)是调整因子，也被称作标准似然度（standardised likelihood）。

贝叶斯推断中有几个关键的概念需要说明下：

第一个是先验概率，先验概率是指我们主观通过事件发生次数对概率的判断。

第二个是似然函数，似然函数是对某件事发生可能性的判断，与条件概率正好相反。通过事件已经发生的概率推算事件可能性的概率。

维基百科中对似然函数与概率的解释：

概率：是给定某一参数值，求某一结果的可能性。

例如，抛一枚匀质硬币，抛10次，6次正面向上的可能性多大？

似然函数：给定某一结果，求某一参数值的可能性。

例如，抛一枚硬币，抛10次，结果是6次正面向上，其是匀质的可能性多大？

第三个是调整因子：调整因子是似然函数与先验概率的比值，这个比值相当于一个权重，用来调整后验概率的值，使后验概率更接近真实概率。调整因子有三种情况，大于1，等于1和小于1。

调整因子P(A|B)/P(A)>1：说明事件可能发生的概率要大于事件已经发生次数的概率。

调整因子P(A|B)/P(A)=1：说明事件可能发生的概率与事件已经发生次数的概率相等。

调整因子P(A|B)/P(A)<1：说明事件可能发生的概率与事件小于已经发生次数的概率。

因此，贝叶斯推断可以理解为通过先验概率和调整因子来获得后验概率。其中调整因子是根据事件已经发生的概率推断事件可能发生的概率（通过硬币正面出现的次数来推断硬币均匀的可能性），并与已经发生的先验概率（硬币正面出现的概率）的比值。通过这个比值调整先验概率来获得后验概率。

后验概率＝先验概率ｘ调整因子